Question

2．半徑為2的圓的圓心O在直角坐標系的原點，兩條互相垂直的弦AC和BD相交于點M（1，$\sqrt{2}$），則四邊形ABCD的面積的最大值與最小值的差是1．

Answer 1

分析 解答本題要注意當AC、BD相等，且OM平分兩弦的相交的角時，此時四邊形ABCD的面積最大，求出對角線AC、BD的長度可以求得四邊形ABCD的最大面積，當BD為圓的直徑時可以求得四邊形的最小面積，兩者相減，得到答案．

解答 解：∵M（1，$\sqrt{2}$），
∴OM=$\sqrt{3}$，
①如圖1，當AC、BD相等，且OM平分兩弦的相交的角時，這時O到弦的距離為：OM×sin45=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由勾股定理及垂徑定理知弦長為：$\sqrt{10}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
②當弦BD經過圓心O，此時四邊形ABCD的面積最小，如圖2，
∵M（1，$\sqrt{2}$），
∴OM=$\sqrt{3}$，MC=1，
根據(jù)垂徑定理，AC=2MC=2，
∴BD=4，
∴四邊形ABCD面積最大值與最小值的差5-4=1．
故答案為：1．

點評 本題考查了垂徑定理以及坐標與圖形的變換，當對角線互相垂直時，四邊形的面積等于對角線乘積的一半，這一性質要好好記憶，同時還要注意極值圖形的選取方法．