Question

12．先閱讀下列材料：
化簡$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$時(shí)，甲、乙兩同學(xué)的解法分別為：
甲：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{3-2}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{3}+\sqrt{2}）（\sqrt{3}-\sqrt{2}）}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
乙：$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$=$\frac{1•（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}{（\sqrt{2}+\sqrt{3}）（\sqrt{2}-\sqrt{3}）}$=$\frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}}{-1}$=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$；
下面請解答：
（1）兩位同學(xué)的解法是否正確？
（2）請用上述兩種方法化簡：$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$；
（3）計(jì)算$\frac{1}{1+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}$+$\frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{5}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{2014}+\sqrt{2015}}$．

Answer 1

分析 （1）兩位同學(xué)的解法均正確；
（2）類比上述方法計(jì)算即可；
（3）由以上分母有理化規(guī)律，將式子全部有理化后兩兩抵消可得結(jié)果．

解答 解：（1）兩位同學(xué)的解法均正確；
（2）$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\frac{5-3}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\frac{（\sqrt{5}+\sqrt{3}）（\sqrt{5}-\sqrt{3}）}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$=$\sqrt{5}+\sqrt{3}$，
$\frac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}=\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}{（\sqrt{5}-\sqrt{3}）（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}$=$\frac{2（\sqrt{5}+\sqrt{3}）}{2}=\sqrt{5}+\sqrt{3}$；
（3）原式=$\sqrt{2}-1+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}+\sqrt{5}-\sqrt{4}$+…+$\sqrt{2015}-\sqrt{2014}$
=$\sqrt{2015}-1$．

點(diǎn)評 本題主要考查分母有理化，類比以上分母有理化的方法是解題的根本，將以上方法加以運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．