Question

14．在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延長線于點G，一個等腰直角三角尺按如圖①所示的位置擺放．該三角尺的直角頂點為F，一條直角邊與AC邊在一條直線上，另一條直角邊恰好經(jīng)過點B．
（1）在圖①中請你通過觀察，測量BF與CG的長度，猜想BF與CG滿足的數(shù)量關(guān)系是BF=CG．
（2）當三角尺沿AC方向平移到圖②所示的位置時，一條直角邊仍與AC邊在同一直線上，另一條直角邊交直線BC于點D，過點D作DE丄BA于點E，此時請你通過觀察、測量DE、DF與CG的長度關(guān)系，猜想并寫出DE+DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想．
（3）當三角尺在（2）的基礎(chǔ)上沿AC方向繼續(xù)平移（點F在射線AC上，且點F與點A、點C不重合）時，直接寫出DE、DF與CG之間滿足的數(shù)量關(guān)系，不用說明理由．

Answer 1

分析 （1）由于∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，故由AAS證得△ABF≌△ACG⇒BF=CG；
（2）過點D作DH⊥CG于點H．易證得四邊形EDHG為矩形，有DE=HG，DH∥BG，∠GBC=∠HDC．又有AB=AC，∠FCD=∠GBC=∠HDC．又∠F=∠DHC=90°，CD=DC，可由AAS證得△FDC≌△HCD，DF=CH，有GH+CH=DE+DF=CG．
（3）同（2）可證得DE=DF+CG，

解答 解：（1）BF=CG；
證明：在△ABF和△ACG中，
∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC，
∴△ABF≌△ACG（AAS），
∴BF=CG；
故答案為BF=CG
（2）DE+DF=CG；
證明：過點D作DH⊥CG于點H（如圖1），

∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，DH⊥CG，
∴四邊形EDHG為矩形，
∴DE=HG，DH∥BG，
∴∠GBC=∠HDC，
∵AB=AC，
∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，
又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=CH，
∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；
（3）DE=DF+CG，
理由：過點C作CH⊥CG于點H（如圖2），

∵DE⊥BA于點E，∠G=90°，CH⊥CG，
∴四邊形CHEG為矩形，
∴EH=CG，∠HCG=90°，
∴∠HCD+∠BCG=90°，
∵CG⊥AB，
∴∠B+∠BCG=90°，
∴∠B=∠HCD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB=∠DCF，
∴∠DCF=∠HCD
又∵∠CFD=∠DHC=90°，CD=CD，
∴△FDC≌△HCD（AAS），
∴DF=DH，
∴EH+DH=CG+DF=DE
即DE=DF+CG，

點評 此題是幾何變換綜合題，本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)求解；作出輔助線是正確解答本題的關(guān)鍵．