求證:銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心.
分析:首先根據(jù)題意設(shè)計(jì)出圖形及用幾何語(yǔ)言來(lái)表達(dá)題意:已知△ABC中,H為垂心,AD、BE、CF是高,EF交AD于G,求證:垂足H為△DEF的內(nèi)心.首先證明四邊形AEHF、四邊形CDHE是圓內(nèi)接四邊形,從而根據(jù)圓周角定理、在Rt△ABD與Rt△BCF中,有公共∠B,推出∠HEF=∠HED,得出EH平分∠DEF.同理可到到DH、FH分別平分∠EDF、∠EFD.根據(jù)三角形內(nèi)切圓性質(zhì)定理,得到證明.
解答:證明:∵HF⊥AF、HE⊥AE,
∴四邊形AEHF是圓內(nèi)接四邊形,
同理,四邊形CDHE也是圓內(nèi)接四邊形,
∴∠HEF=∠HAF、∠DEH=∠DCH,
∵∠HAF=90°-∠ABC=∠DCH,
∴∠HEF=∠HED,
即:EH平分∠DEF,
同理可得:DH、FH分別平分∠EDF、∠EFD,
∴銳角三角形的垂心H必為其垂足三角形的內(nèi)心.
點(diǎn)評(píng):本題考查內(nèi)切圓與內(nèi)心、圓周角定理.解決本題的關(guān)鍵是證明四邊形AEHF、四邊形CDHE分別是圓內(nèi)接四邊形,利用圓周角定理從而建立起角相等的關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,△ABC為銳角三角形,△ABC內(nèi)接于圓O,∠BAC=60°,H是△ABC的垂心,BD是⊙O的直徑.
求證:AH=
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BD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012年浙教版初中數(shù)學(xué)九年級(jí)上3.3圓心角練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題

如圖,△為銳角三角形,△內(nèi)接于圓,是△的垂心,的直徑.求證:

 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,△ABC為銳角三角形,△ABC內(nèi)接于圓O,∠BAC=60°,H是△ABC的垂心,BD是⊙O的直徑.
求證:AH=數(shù)學(xué)公式BD.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

如圖,△為銳角三角形,△內(nèi)接于圓,是△的垂心,的直徑.求證:


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