有兩張完全重合的矩形紙片,小亮將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連結(jié)BD、MF,此時他測得BD=8cm,∠ADB=30°.
1.在圖1中,請你判斷直線FM和BD是否垂直?并證明你的結(jié)論;
2.小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
3.若將△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2(如圖3),F(xiàn)2M2與AD交于點P,A2M2與BD交于點N,當(dāng)NP∥AB時,求平移的距離是多少.
1.垂直. …………………………1分
證明:延長FM交BD于N.
如圖1,由題意得:△BAD≌△MAF.
∴∠ADB=∠AFM.
又∵∠DMN=∠AMF,
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°.
∴∠DNM=90°,∴BD⊥MF. 2分
2.β的度數(shù)為60°或15°(答對一個得1分) 4分
3.如圖2,由題意知四邊形PNA2A為矩形,設(shè)A2A=x,則PN=x.
在Rt△A2M2F2中,∵M(jìn)2F2=MF=BD=8,∠A2F2M2=∠AFM=∠ADB=30°.
∴M2A2=4,A2F2=. …………………………..5分
∴AF2=-x.
在Rt△PAF2中,∵∠PF2A=30°.
∴AP=AF230°=(-x)·=4-x.
∴PD=AD-AP=-4+x. ……………..6分
∵NP∥AB,∴=.∴=,
解得x=6-.即平移的距離是(6-)cm.………………7分
【解析】本題涉及的知識點有三角形全等、旋轉(zhuǎn)和平移、三角函數(shù)的有關(guān)計算,綜合性較強。
【解析】略
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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有兩張完全重合的矩形紙片,小亮將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF(如圖1),連結(jié)BD、MF,此時他測得BD=8cm,∠ADB=30°.
1.在圖1中,請你判斷直線FM和BD是否垂直?并證明你的結(jié)論;
2.小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去,與小亮同學(xué)繼續(xù)探究.他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB1D1,AD1交FM于點K(如圖2),設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β(0°<β<90°),當(dāng)△AFK為等腰三角形時,請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù);
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