Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連結(jié)BD、MF，此時(shí)他測(cè)得BD＝8cm，∠ADB＝30°．

1.在圖1中，請(qǐng)你判斷直線FM和BD是否垂直？并證明你的結(jié)論；

2.小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點(diǎn)K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)；

3.若將△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如圖3），F(xiàn)₂M₂與AD交于點(diǎn)P，A₂M₂與BD交于點(diǎn)N，當(dāng)NP∥AB時(shí)，求平移的距離是多少.

 

 

Answer 1

 

1.垂直.  …………………………1分

證明：延長(zhǎng)FM交BD于N.

如圖1，由題意得：△BAD≌△MAF．

∴∠ADB＝∠AFM．

又∵∠DMN＝∠AMF，

∴∠ADB＋∠DMN＝∠AFM＋∠AMF＝90°．

∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．   2分

2.β的度數(shù)為60°或15°（答對(duì)一個(gè)得1分）   4分

3.如圖2，由題意知四邊形PNA₂A為矩形，設(shè)A₂A＝x，則PN＝x．

在Rt△A₂M₂F₂中，∵M(jìn)₂F₂＝MF＝BD＝8，∠A₂F₂M₂＝∠AFM＝∠ADB＝30°．

∴M₂A₂＝4，A₂F₂＝. …………………………..5分

∴AF₂＝－x．

在Rt△PAF₂中，∵∠PF₂A＝30°．

∴AP＝AF₂30°＝(－x)·＝4－x．

∴PD＝AD－AP＝－4＋x． ……………..6分

∵NP∥AB，∴＝．∴＝，

解得x＝6－．即平移的距離是(6－)cm．………………7分

解析:本題涉及的知識(shí)點(diǎn)有三角形全等、旋轉(zhuǎn)和平移、三角函數(shù)的有關(guān)計(jì)算，綜合性較強(qiáng)。

解析:略