Question

有兩張完全重合的矩形紙片，小亮同學(xué)將其中一張繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到矩形AMEF（如圖1），連接BD、MF，若此時他測得∠ADB=30°．

（1）試探究線段BD與線段MF的關(guān)系，并簡要說明理由；
（2）小紅同學(xué)用剪刀將△BCD與△MEF剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將△ABD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得△AB₁D₁，AD₁交FM于點K（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為β（0°＜β＜90°），當(dāng)△AFK為等腰三角形時，請直接寫出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)．

Answer 1

分析：（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以證明△BAD≌△MAF，由全等三角形的對應(yīng)邊相等可以推知線段BD與MF的數(shù)量關(guān)系BD=MF．②BD=MF，∠ADB=∠AFM=30°，進而可得∠DNM的大小．
（2）由條件可知∠AFK=30°，當(dāng)∠AFK為頂角時，可以求出∠KAF=75°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)，當(dāng)∠AFK為底角時，可以求出∠KAF=30°，從而求出旋轉(zhuǎn)角β的度數(shù)．

解答：解：（1）BD=MF，且BD⊥MF．理由如下：
如圖1，延長FM交BD于點N，
由題意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，
∴BD⊥MF．

（2）如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，∠AFK=∠ADB=30°．
當(dāng)AK=FK時，∠KAF=∠AFK=30°，
則∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②當(dāng)AF=FK時，∠FAK=

180°-∠AFK

2

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
故β的度數(shù)為60°或15°．

點評：本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化前后，對應(yīng)線段、對應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．注意（2）中需分情況討論△AFK為等腰三角形時的不同分類，不要漏解．