Question

7．如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=10cm，AF=30cm，E是邊CD的中點(diǎn)，連接BE并延長與AD的延長線相交于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形；
（2）若BF⊥CD，求四邊形BDFC的面積．

Answer 1

分析 1）根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行求出BC∥AD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠CBE=∠DFE，然后利用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可；
（2）由勾股定理列式求出AB，由平行四邊形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答 （1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，
∴BC∥AD，
∴∠CBE=∠DFE，
∵E是邊CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
在△BEC與△FED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CBE=∠DFE}&{\;}\\{∠BEC=∠FED}&{\;}\\{CE=DE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BEC≌△FED（AAS），
∴BE=FE，
又∵E是邊CD的中點(diǎn)，
∴CE=DE，
∴四邊形BDFC是平行四邊形；

（2）解：∵BF⊥CD，CE=DE，
∴BD=BC=AF-AD=20cm，
由勾股定理得，AB=$\sqrt{B{D}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{0}^{2}}$=10$\sqrt{3}$（cm），
∴四邊形BDFC的面積=20×10$\sqrt{3}$=200$\sqrt{3}$（cm²）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理；熟練掌握平行四邊形的判定，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵．