Question

【題目】如圖，在中，AB=AC,以AC邊為直徑作⊙O交BC邊于點D,過點D作于點E，ED、AC的延長線交于點F.

(1)求證：EF是⊙O的切線；

(2)若且，求⊙O的半徑與線段AE的長.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）⊙的半徑長為，AE=

【解析】試題分析：（1）連結(jié)OD，如圖，由AB=AC得到∠B=∠ACD，由OC=OD得到∠ODC=∠OCD，則∠B=∠ODC，于是可判斷OD∥AB，然后利用DE⊥AB得到OD⊥EF，然后根據(jù)切線的判定定理得到結(jié)論；

（2）在Rt△ODF利用正弦的定義得到sin∠OFD=，則可設(shè)OD=3x，OF=5x，所以AB=AC=6x，AF=8x，在Rt△AEF中由于sin∠AFE=，可得到AE=x，接著表示出BE得到x=，解得x=，于是可得到AE和OD的長．

試題解析：

（1）如圖，連結(jié)，

∵，

∴.

∵，

∴.

∴，

∴∥

∵，

∴.

∴是⊙的切線

（2）在和中，

∵，

∴ .

設(shè)，則.

∴，

∵，

∴

∴，解得=，

∴⊙的半徑長為 ， =