Question

如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點，在正方形ABCD外有一點E，滿足∠ABE=∠CBP，BE=BP．

(1)求證：△CPB≌△AEB；

(2)求證：PB⊥BE；

(3)若PA∶PB=1∶2，∠APB=135°，求AP∶AE．

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：因為四邊形ABCD是正方形，所以BC=AB． 因為∠CBP=∠ABE，BP=BE，所以△CBP≌△ABE． (2)證明：因為∠CBP=∠ABE，所以∠PBE=∠ABE＋∠ABP=∠CBP＋∠ABP=90°． 所以PB⊥BE． (3)解：連接PE．如圖．因為BE=BP，∠PBE=90°，所以∠BPE=45°． 設(shè)AP為k，則BP=BE=2k．所以，所以 因為∠BPA=135°，∠BPE=45°，所以∠APE=90°．所以AE=3k，

提示：

本題綜合考查了三角形全等、證線段垂直、直角三角形的有關(guān)知識，第(3)題結(jié)合了勾股定理求線段的長． 由正方形的性質(zhì)很容易找到△CPB≌△AEB，然后利用全等三角形對應(yīng)角相等，結(jié)合正方形的四個角都是直角利用等量代換證得∠PBE=90°，即有PB⊥BE．