Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE的直角頂點B重合，M、N、P分別是AD、AC、DE邊的中點，且A、B、D在同一直線上，試說明MP與MN的關系．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：連接CD，連接AE并延長與CD相交于點F，根據等腰直角三角形的性質可得AB=BC，BD=BE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AE=CD，全等三角形對應角相等可得∠BAE=∠BCD，然后求出∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，再根據三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，再等量代換即可得解．

解答：解：如圖，連接CD，連接AE并延長與CD相交于點F，
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，
在△ABE和△CBD中，

AB=BC ∠ABC=∠DBE=90° BD=BE

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，
∴∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，
∴AE⊥CD，
∵M、N、P分別是AD、AC、DE邊的中點，
∴MP、MN分別是△ADE和△ACD的中位線，
∴MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，
∴MP=MN，且MP⊥MN．

點評：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質，熟記定理與三角形全等的判定方法并作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．