Question

將等腰Rt△ABC和等腰Rt△BDE的直角頂點(diǎn)B重合，M、N、P分別是AD、AC、DE邊的中點(diǎn)，且A、B、D在同一直線(xiàn)上，試說(shuō)明MP與MN的關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形中位線(xiàn)定理,全等三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：連接CD，連接AE并延長(zhǎng)與CD相交于點(diǎn)F，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=BC，BD=BE，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=CD，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE=∠BCD，然后求出∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，再等量代換即可得解．

解答：解：如圖，連接CD，連接AE并延長(zhǎng)與CD相交于點(diǎn)F，
∵△ABC和△BDE都是等腰直角三角形，
∴AB=BC，BD=BE，
在△ABE和△CBD中，

AB=BC ∠ABC=∠DBE=90° BD=BE

，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴AE=CD，∠BAE=∠BCD，
∴∠BAE+∠BDC=∠BCD+∠BDC=90°，
∴AE⊥CD，
∵M(jìn)、N、P分別是AD、AC、DE邊的中點(diǎn)，
∴MP、MN分別是△ADE和△ACD的中位線(xiàn)，
∴MP∥AE，MP=

1

2

AE，MN∥CD，MN=

1

2

CD，
∴MP=MN，且MP⊥MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊并且等于第三邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記定理與三角形全等的判定方法并作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．