Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC為菱形，點(diǎn)A在x軸的正半軸上，BC與y軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，4）。

1.點(diǎn)A的坐標(biāo)為  ▲   ；

2.求過(guò)點(diǎn)A、O、C的拋物線解析式，并求它的頂點(diǎn)坐標(biāo)；

3.在直線AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)A、O、P為頂點(diǎn)的三角形與△COD相似。若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

【答案】

 

1.∵OABC為菱形，

∴BC∥OA，OC=OA=BC，

∴OD⊥BC，

∵C（-3，4），

∴CD=3，OD=4，

∴OC==5，

∴A（5，0），

2.設(shè)拋物線的解析式為，

它經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)C（-3，4），則     …………………… 4分

解得   ∴    ……………………………………… 6分

∵，∴線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為�！�………………………  8分

3.因?yàn)椤螼CD=∠OAB，∠ODC=90°，OC=5，OD=4，CD=3，所以…………  9分

①當(dāng)∠AOP=∠ODC=90°（點(diǎn)P在y軸上）時(shí),△APO∽△COD�？傻�

，即，PO=，此時(shí)P（0，）…………………… 11分

②當(dāng)∠OPA=∠ODC=90°時(shí)，△AOP≌△COD，OP=OD=4。

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，由可得PM=，OM=。

此時(shí)P（）………………………………………………………………  13分

綜上所述，存在點(diǎn)符合要求的點(diǎn)P，它的坐標(biāo)為（0，）或（）…14分

【解析】（1）由菱形的性質(zhì)得OC=OA=BC，則OD⊥BC，由勾股定理得出OC，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，

（2）設(shè)拋物線的解析式為，把點(diǎn)A（5，0）和點(diǎn)C（-3，4）代入列方程組求解

（3）分兩種情況進(jìn)行討論，①當(dāng)∠AOP=∠ODC=90°（點(diǎn)P在y軸上）時(shí),△APO∽△COD。②當(dāng)∠OPA=∠ODC=90°時(shí)，△AOP≌△COD，OP=OD=4。