Question

如圖，一次函數(shù)y=ax+b與反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象交于點A（1，6）、B（m，2）．
（1）求這兩個函數(shù)的關(guān)系式；
（2）直接寫出不等式ax+b-

k

x

＞0的解集；
（3）如圖，作等腰梯形OBCD．其中，點D在x軸上，BC∥OD，OB=CD．過點C作CE⊥x軸于點E，且與反比例函數(shù)的圖象交于點P．當點P恰為CE的中點時，求梯形OBCD的面積．

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式,待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式,勾股定理,等腰梯形的性質(zhì)

專題：綜合題

分析：（1）用待定系數(shù)法就可以求出兩個函數(shù)的關(guān)系式．
（2）設(shè)y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如圖1，結(jié)合圖象即可解決問題．
（3）過點B作BH⊥x軸，垂足為H，如圖2，由條件可求出點P的坐標，從而可以求出BC、OD的長，就可求出梯形OBCD的面積．

解答：解：（1）∵點A（1，6）在反比例函數(shù)y=

k

x

（x＞0）的圖象上，
∴k=1×6=6．
∴反比例函數(shù)的解析式為y=

6

x

（x＞0）．
∵點B（m，2）在反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象上，
∴2m=6，即m=3．
∴點B的坐標為（3，2）．
∵點A（1，6）、B（3，2）在一次函數(shù)y=ax+b的圖象上，
∴

a+b=6 3a+b=2

．
解得：

a=-2 b=8

．
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+8．

（2）設(shè)y₁=ax+b，y₂=

k

x

（x＞0），如圖1，
結(jié)合圖象可得：當1＜x＜3時，y₁＞y₂，即ax+b＞

k

x

．
因而不等式ax+b-

k

x

＞0的解集為1＜x＜3．

（3）過點B作BH⊥x軸，垂足為H，如圖2，
∵BC∥OD，CE⊥x軸，B（3，2），
∴CE=2，OB=

32+22

=

13

．
∴CD=OB=

13

．
∴ED=

CD2-CE2

=3．
∵點P為CE的中點，
∴PE=1．
∴y_P=1．
∵點P在反比例函數(shù)y=

6

x

（x＞0）的圖象上，
∴x_P=6．
∴OE=6，x_C=x_P=6．
∴OD=OE+ED=9，BC=6-3=3．
∴S_梯形OBCD=

1

2

（BC+OD）•CE=

1

2

（3+9）×2=12．

點評：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式、等腰梯形的性質(zhì)、勾股定理等知識，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想，有一定的綜合性．