Question

如圖12，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,0），將線(xiàn)段繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45，再將其延長(zhǎng)到，使得，得到線(xiàn)段；又將線(xiàn)段繞原點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)45，再將其延長(zhǎng)到，使得，得到線(xiàn)段，如此下去，得到線(xiàn)段，，…，．

（1）寫(xiě)出點(diǎn)M₅的坐標(biāo)；（4分）

（2）求的周長(zhǎng)；（4分）

（3）我們規(guī)定：把點(diǎn)（0,1,2,3…）的橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都取絕對(duì)值后得到的新坐標(biāo)

稱(chēng)之為點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”．根據(jù)圖中點(diǎn)的分布規(guī)律，請(qǐng)你猜想點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”，并寫(xiě)出來(lái)．（4分）

Answer 1

（1）M₅（—4，—4）

（2）由規(guī)律可知，,，

    ∴的周長(zhǎng)是

（3）解法一：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)象限的分角線(xiàn)上或軸或軸上，但各點(diǎn)“絕對(duì)坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”可分三類(lèi)情況：

令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為

①     當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí): M₀（），M₄（），M₈（），M₁₂（）,…，

即：點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”為（）。

當(dāng)點(diǎn)M在y軸上時(shí): M₂，M₆，M₁₀，M₁₄,……，

即：點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”為。

②     當(dāng)點(diǎn)M在各象限的分角線(xiàn)上時(shí)：M₁，M₃，M₅，M₇,……，即：的“絕對(duì)坐標(biāo)”為。

解法二：由題意知，旋轉(zhuǎn)8次之后回到軸的正半軸，在這8次旋轉(zhuǎn)中，點(diǎn)分別落在坐標(biāo)象限的分角線(xiàn)上或軸或軸上，但各點(diǎn)“絕對(duì)坐標(biāo)”的橫、縱坐標(biāo)均為非負(fù)數(shù)，因此，各點(diǎn)的“絕對(duì)坐標(biāo)”可分三種情況：

①當(dāng)時(shí)（其中=0，1，2，3，…），點(diǎn)在軸上，則（）

②當(dāng)時(shí)（其中=1，2，3，…），點(diǎn)在軸上，點(diǎn)（）

③當(dāng)=1，2，3，…，時(shí)，點(diǎn)在各象限的分角線(xiàn)上，則點(diǎn)（）