【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△AOP為等邊三角形,A(0,2),點B為y軸上一動點,以BP為邊作等邊△PBC,延長CA交x軸于點E.
(1)求證:OB=AC;
(2)∠CAP的度數(shù)是;
(3)當B點運動時,猜想AE的長度是否發(fā)生變化?并說明理由;
(4)在(3)的條件下,在y軸上存在點Q,使得△AEQ為等腰三角形,請寫出點Q的坐標.
【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)答案見解析;(4)答案見解析.
【解析】
(1)根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出OP=AP,BP=PC,∠APO=∠CPB=60°,求出∠OPB=∠APC,證出△PBO≌△PCA即可;(2)當點B在y軸正半軸上時,由(1)知∠PBO=∠PCA,根據(jù)∠BAC=∠BPC=60°,當點B在y軸負半軸上時,判斷出△APC≌△OPB(SAS),即可求出答案;(3)∠EAO=60°,求出∠AEO=30°,得出AE=2AO,求出即可;(4)分點Q在y軸正半軸和負半軸兩種情況計算即可.
解:(1)證明:∵△AOP,△PBC均為等邊三角形,
∴OP=AP,BP=PC,∠OPA=∠BPC=60°.
∴∠OPA+∠APB=∠APB+BPC,即∠OPB=∠APC.
在△PBO和△PCA中,
∴△PBO≌△PCA(SAS).∴OB=AC.
(2)當點B在y軸正半軸上時,
由(1)知∠PBO=∠PCA,
∴∠BAC=∠BPC=60°,
又∵∠OAP=60°,
∴∠CAP=60°.
當點B在y軸負半軸上時,如圖,
∵△AOP和△BCP是等邊三角形,
∴AP=OP,PC=PB,∠AOP=∠APO=∠BPC=60°,
∴∠APC=∠OPB,
∴△APC≌△OPB(SAS),
∴∠CAP=∠BOP=180°-∠AOP=120°,
∵延長CA交x軸于點E,
∴此種情況不符合題意,舍去,
故∠CAP的度數(shù)是60°;
(3)當點B運動時,AE的長度不會發(fā)生變化.理由如下:
∵∠CAP=60°,∠PAO=60°,
∴∠EAO=180°-60°-60°=60°.
∵∠AOE=90°,∴∠AEO=30°.∴AE=2AO.
∵A(0,2),∴OA=2.∴AE=4.
∴當B點運動時,AE的長度不發(fā)生變化,為4.
(4) 由(3)知,AE=4,∠OAE=60°,
當點Q在y軸負半軸時,
∵OA⊥AE,
∴點Q與點A關(guān)于x軸對稱,
∴Q(0,-2),
當點Q在y軸正半軸時,EQ=AE=4,
∴OQ=OA+EQ=6,
∴Q(0,6).
即:滿足條件的點Q的坐標為(0,-2)或(0,6).
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【題目】在ΔABC中,AB>BC,AB=AC,DE是AB的垂直平分線,垂足為D點,交AC于點E.
(1)若∠ABE=40°,求∠EBC的度數(shù);
(2)若ΔABC的周長為41cm,一邊為15cm,求ΔBCE的周長.
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【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,點P是AB邊上的一個動點。過點P作AB的垂線交AC邊于點D,以PD為邊作∠DPE=60°,PE交BC邊于點E。
(1)以點D為AC邊的中點時,求BE的長
(2)當PD=PE時,求AP的長;
(3)設(shè)AP的長為x,四邊形CDPE的面積為y,求出y與x的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍。
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【題目】已知拋物線開口向上且經(jīng)過點,雙曲線經(jīng)過點,給出下列結(jié)論:;;,c是關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根;其中正確結(jié)論是______填寫序號
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【題目】二次函數(shù)的圖象如圖所示,根據(jù)圖象回答:
當時,寫出自變量的值.
當時,寫出自變量的取值范圍.
寫出隨的增大而減小的自變量的取值范圍.
若方程有兩個不相等的實數(shù)根,求的取值范圍(用含、、的代數(shù)式表示).
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【題目】若拋物線y=ax2+c與x軸交于點A(m,0),B(n,0),與y軸交于點C(0,c),則稱△ABC為“拋物三角形”.特別地,當mnc<0時,稱△ABC為“正拋物三角形”;當mnc>0時,稱△ABC為“倒拋物三角形”.若△ABC為“倒拋物三角形”時,a、c應分別滿足條件_____、_____;若△ABC為“正拋物三角形”,此時△ABC及其關(guān)于x軸的軸對稱圖形恰好構(gòu)成了一個含60°角的菱形,則a、c應滿足的關(guān)系為_____.
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【題目】如圖,下列網(wǎng)格中,每個小正方形的邊長都是1,圖中“小魚”的各個頂點都在格點上.
(1)把“小魚”向右平移5個單位長度,并畫出平移后的圖形;
(2)寫出A、B、C三點平移后的對應點A′、B′、C′的坐標;
(3)求出圖中“小魚”的面積,平移后圖中“小魚”的面積發(fā)生變化嗎?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形中,,,.分別是線段,上的點,連接,使四邊形為正方形,若點是上的動點,連接,將矩形沿折疊使得點落在正方形的對角線所在的直線上,對應點為,則線段的長為________.
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【題目】(10分)如圖,已知△ABC為等邊三角形,點D、E分別在BC、AC邊上,且AE=CD,AD與BE相交于點F。
(1)求證:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度數(shù)。
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