Question

【題目】已知：在中，，點為直線上一動點(點不與重合).以為邊作正方形，連接.

(1)如圖1，當點在線段上時，求證：.

(2)如圖2，當點在線段的延長線上時，其他條件不變，請直接寫出三條線段之間的關(guān)系；

(3)如圖3，當點在線段的反向延長線上時，且點分別在直線的兩側(cè).其他條件不變，若連接正方形對角線，交點為，連接，探究的形狀，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)CF=BC+CD；(3)是等腰三角形，理由見解析.

【解析】

(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BD=CF；

(2)與(1)同理可得BD=CF，然后結(jié)合圖形可得CF=BC+CD；

(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出∠ABC=∠ACB=45°，再根據(jù)鄰補角的定義求出∠ABD=135°，再根據(jù)同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“邊角邊”證明△BAD和△CAF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出OC=DF，再根據(jù)正方形的對角線相等求出OC=OA，從而得到△AOC是等腰三角形．

(1) ∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

，

，

，

在和中，

，

，

；

(2)，理由如下：

∵四邊形ADEF是正方形，

∴AD=AF，∠DAF=90°，

∵∠BAD=∠BAC+∠CAD=90°+∠CAD，∠CAF=∠CAD+∠DAF=∠CAD+90°，

，

在和中，

，

，

，

∵BD=BC+CD，

∴CF=BC+CD；

(3)，

，

則，

四邊形是正方形，

，

，

，

，

在和中，，

，

，

，

則為直角三角形，

正方形中，為中點，

，

在正方形中，，

，

是等腰三角形.