Question

如圖，在△ABC中，∠C=60°，以AB為直徑的半圓O分別交AC、BC于點D、E．
（1）判斷△ODE的形狀；
（2）如果AC=4，求CE的長．

Answer 1

考點：圓周角定理,等邊三角形的判定,含30度角的直角三角形

專題：

分析：（1）△ODE是等邊三角形，欲證明△ODE是等邊三角形，只需證得∠DOE=60°；
（2）通過相似三角形△CDE∽△CBA的對應(yīng)邊成比例來求CE的長度．

解答：解：（1）△ODE是等邊三角形，理由如下：
∵∠C=60°，
∴∠A+∠B=180°-∠C=120°，³
而OA=OD，OB=OE，
∴∠A=∠1，∠B=∠5，
∴∠2=180°-2∠A，∠4=180°-2∠B，
∴∠2+∠3+∠4=360°-2（∠A+∠B）+∠3=180°，
則∠3=60°．
又OD=OE，
∴△ODE是等邊三角形；

（2）∵由（1）知，△ODE是等邊三角形，
∴DE=DO，
∴DE=

1

2

AB．
∵∠C=∠C，∠CDE=∠CBA，
∴△CDE∽△CBA，
∴

CE

CA

=

DE

BA

=

1

2

，
∴CE=

1

2

CA=

1

2

×4=2．

點評：本題綜合考查了等邊三角形的判定，圓周角，相似三角形的判定與性質(zhì)．解答這類題一些學(xué)生不會綜合運用所學(xué)知識解答問題，不知從何處入手造成錯解．