【題目】已知拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),頂點(diǎn)為B,對稱軸是直線x=2.
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過A作AD⊥x軸于點(diǎn)D,E是線段AC上的動點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,C兩點(diǎn)重合);
(i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分,求點(diǎn)E的坐標(biāo);
(ii)如圖2,連接DE,作矩形DEFG,在點(diǎn)E的運(yùn)動過程中,是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時點(diǎn)F恰好落在拋物線上?若存在,求出此時AE的長;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+3,頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);(2)(i)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(,3)或(,3);(ii)存在;當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上的同時點(diǎn)F恰好落在拋物線上,此時AE的長為.
【解析】
(1)由題意得出,解得,得出拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,即可得出頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);
(2)(i)求出C(0,3),設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,3),求出直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4m﹣6,0),由題意得出OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,則S矩形ACOD=12,S梯形ECOM=,分兩種情況求出m的值即可;
(ii)過點(diǎn)F作FN⊥AC于N,則NF∥CG,設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),則NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,證△EFN≌△DGO(ASA),得出NE=OD=AC=4,則AE=NC=﹣a,證△ENF∽△DAE,得出,求出a=﹣或0,當(dāng)a=0時,點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,舍去,得出AE=NC=﹣a=,即可得出結(jié)論.
(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A(4,3),對稱軸是直線x=2,
∴
解得
∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為:y=﹣x2+x+3,
∵y=﹣x2+x+3=﹣(x﹣2)2+4,
∴頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,4);
(2)(i)∵y=﹣x2+x+3,
∴x=0時,y=3,
則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,3),
∵A(4,3),
∴AC∥OD,
∵AD⊥x,
∴四邊形ACOD是矩形,
設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(m,3),直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=kx+n,直線BE交x軸于點(diǎn)M,如圖1所示:
則
解得: ,
∴直線BE的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+,
令:y=x+=0,則x=4m﹣6,
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(4m﹣6,0),
∵直線BE將四邊形ACOD分成面積比為1:3的兩部分,
∴點(diǎn)M在線段OD上,點(diǎn)M不與點(diǎn)O重合,
∵C(0,3),A(4,3),M(4m﹣6,0),E(m,3),
∴OC=3,AC=4,OM=4m﹣6,CE=m,
∴S矩形ACOD=OCAC=3×4=12,
S梯形ECOM=(OM+EC)OC=(4m﹣6+m)×3=,
分兩種情況:
①=,即=,
解得:m=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3);
②=,即=,
解得:m=,
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3);
綜上所述,點(diǎn)E的坐標(biāo)為:(,3)或(,3);
(ii)存在點(diǎn)G落在y軸上的同時點(diǎn)F恰好落在拋物線上;理由如下:
由題意得:滿足條件的矩形DEFG在直線AC的下方,
過點(diǎn)F作FN⊥AC于N,則NF∥CG,如圖2所示:
設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為:(a,﹣a2+a+3),
則NF=3﹣(﹣a2+a+3)=a2﹣a,NC=﹣a,
∵四邊形DEFG與四邊形ACOD都是矩形,
∴∠DAE=∠DEF=∠N=90°,EF=DG,EF∥DG,AC∥OD,
∴∠NEF=∠ODG,∠EMC=∠DGO,
∵NF∥CG,
∴∠EMC=∠EFN,
∴∠EFN=∠DGO,
在△EFN和△DGO中,∠NEF=∠ODG,EF=DG,∠EFN=∠DGO,
∴△EFN≌△DGO(ASA),
∴NE=/span>OD=AC=4,
∴AC﹣CE=NE﹣CE,即AE=NC=﹣a,
∵∠DAE=∠DEF=∠N=90°,
∴∠NEF+∠EFN=90°,∠NEF+∠DEA=90°,
∴∠EFN=∠DEA,
∴△ENF∽△DAE,
∴,即=
整理得:a2+a=0,
解得:a=﹣或0,
當(dāng)a=0時,點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,
∴a=0舍去,
∴AE=NC=﹣a=,
∴當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上的同時點(diǎn)F恰好落在拋物線上,此時AE的長為.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=x2+bx-2與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn),且A(一1,0).
(1)求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)判斷△ABC的形狀,證明你的結(jié)論;
(3)點(diǎn)M是x軸上的一個動點(diǎn),當(dāng)△DCM的周長最小時,求點(diǎn)M的坐標(biāo).
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【題目】如圖,拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)A(﹣1,3),與x軸的一個交點(diǎn)B(﹣4,0),直線y2=mx+n(m≠0)與拋物線交于A,B兩點(diǎn),下列結(jié)論:①2a﹣b=0;②abc<0;③拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0);④方程ax2+bx+c﹣3=0有兩個相等的實(shí)數(shù)根;⑤當(dāng)﹣4<x<﹣1時,則y2<y1.
其中正確的是( 。
A. ①②③ B. ①③⑤ C. ①④⑤ D. ②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、B重合),D是的中點(diǎn),DE⊥AB于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作半圓O的切線,交ED的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:∠FCD=∠ADE;
(2)填空:
①當(dāng)∠FCD的度數(shù)為 時,四邊形OADC是菱形;
②若AB=2,當(dāng)CF∥AB時,DF的長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AC=BC=4,∠C=90°,D是BC邊上一點(diǎn),且CD=3BD,連接AD,把△ACD沿AD翻折,得到△ADC',DC′與AB交于點(diǎn)E,連接BC′,則△BDC'的面積為( )
A.B.C.D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】5G網(wǎng)絡(luò),是最新一代蜂窩移動通信技術(shù),其數(shù)據(jù)傳輸速率遠(yuǎn)高于以前的蜂窩網(wǎng)絡(luò),最高可達(dá)10Gbit/s,比4G快100倍.5G手機(jī)也成為生活、工作不可缺少的移動設(shè)備,某電商公司銷售兩種5G手機(jī),已知售出5部A型手機(jī),3部B型手機(jī)的銷售額為51000元;售出3部A型手機(jī),2部B型手機(jī)的銷售額為31500元.
(1)求A型手機(jī)和B型手機(jī)的售價分別是多少元;
(2)該電商公司在3月實(shí)行“滿減促銷”活動,活動方案為:單部手機(jī)滿3000元減500元,滿5000元減1500元(每部手機(jī)只能參加最高滿減活動),結(jié)果3月A型手機(jī)的銷量是B型手機(jī)的,4月該電商公司加大促銷活動力度,每部A型手機(jī)按照3月滿減后的售價再降a%,銷量比3月增加2a%;每部B型手機(jī)按照滿減后的售價再降a%,銷量比3月銷量增加a%,結(jié)果4月的銷售總額比3月的銷售總額多a%,求a的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為滿足市場需求,某超市在中秋節(jié)來臨前夕,購進(jìn)一種品牌月餅,每盒進(jìn)價是40元,超市規(guī)定每盒售價不得少于45元,根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn):當(dāng)售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒.
(1)請寫出每天的銷售利潤(元)與每盒漲價(元)之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(2)當(dāng)每盒漲價為多少元時,每天的銷售利潤最大?最大利潤是多少?
(3)如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=3.點(diǎn)E在線段BA上從B點(diǎn)以每秒1個單位的速度出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動,F(xiàn)是射線CD上一動點(diǎn),在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中始終保持EF=5,且CF>BE,點(diǎn)P是EF的中點(diǎn),連接AP.設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動時間為ts.
(1)在點(diǎn)E、F運(yùn)動的過程中,AP的長度存在一個最小值,當(dāng)AP的長度取得最小值時,點(diǎn)P的位置應(yīng)該在 .
(2)當(dāng)AP⊥EF時,求出此時t的值
(3)以P為圓心作⊙P,當(dāng)⊙P與矩形ABCD三邊所在直線都相切時,求出此時t的值,并指出此時⊙P的半徑長.
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