【題目】如圖,AB是半圓O的直徑,C是半圓O上一點(diǎn)(不與點(diǎn)AB重合),D的中點(diǎn),DEAB于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線,交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F

1)求證:∠FCD=∠ADE

2)填空:

①當(dāng)∠FCD的度數(shù)為   時(shí),四邊形OADC是菱形;

②若AB2,當(dāng)CFAB時(shí),DF的長(zhǎng)為   

【答案】1)見(jiàn)解析;(2)①30°;②1

【解析】

1)如下圖,先推導(dǎo)出OADOCD,然后再利用CFOCDEAB進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化,推導(dǎo)出FCDADE;

2當(dāng)∠FCD=30°時(shí),可得到OAD是等邊三角形,然后再推導(dǎo)出COD也是等邊三角形,從而證菱形;

如下圖,先證ADE≌△DCF,得出AEDF,DECF,推導(dǎo)出ODE是等腰直角三角形,從而求出DF的長(zhǎng).

1)證明:連接OCAC.如圖1所示:

D的中點(diǎn),

DADC,

∴∠DACDCA

OAOC,

∴∠OACOCA

∴∠DAC+∠OACDCA+∠OCA

OADOCD

CF是半圓O的切線,

CFOC,

∴∠FCD+∠OCD90°,

DEAB

∴∠ADE+∠OAD90°,

∴∠FCDADE

2)解:當(dāng)FCD的度數(shù)為30°時(shí),四邊形OADC是菱形;理由如下:

連接OD,如圖2所示:

∵∠FCD30°

∴∠ADE30°,

DEAB,

∴∠OAD60°,

OAOD,

∴△OAD是等邊三角形,

ADOAAOD60°

D的中點(diǎn),

∴∠AODCOD60°,

OCOD

∴△COD是等邊三角形,

CDODOC

OAADCDOC,

四邊形OADC是菱形;

故答案為:30°;

連接OD,如圖3所示:

AB2,

OAOD,

CFABDEAB,

CFEF,

∴∠CFD90°DEA,

ADEDCF中,

∴△ADE≌△DCFAAS),

AEDF,DECF,

CF半圓O的切線,

CFOC,

四邊形OCFE是矩形,

CFOE,

DEOE,

∴△ODE是等腰直角三角形,

OEOD1

DFAEOAOE1

故答案為:1

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】為了運(yùn)送防疫物資,甲、乙兩貨運(yùn)公司各派出一輛卡車,分別從距目的地240千米和270千米的兩地同時(shí)出發(fā),馳援疫區(qū).已知乙公司卡車的平均速度是甲公司卡車的平均速度的1.5倍,甲公司的卡車比乙公司的卡車晚1小時(shí)到達(dá)目的地,分別求甲、乙兩貨運(yùn)公司卡車的平均速度.

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1)求AB兩品牌足球的單價(jià)各為多少元;

2)為享受優(yōu)惠,同學(xué)們決定購(gòu)買一次性購(gòu)買足球60個(gè),若要求A品牌足球的數(shù)量不低于B品牌足球數(shù)量的3倍,請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種付費(fèi)最少的方案,并說(shuō)明理由.

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【題目】探究:如圖1和圖2,四邊形ABCD中,已知ABAD,∠BAD90°,點(diǎn)E、F分別在BCCD上,∠EAF45°.

1如圖1,若∠B、∠ADC都是直角,把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG,使ABAD重合,直接寫(xiě)出線段BE、DFEF之間的數(shù)量關(guān)系   

如圖2,若∠B、∠D都不是直角,但滿足∠B+D180°,線段BEDFEF之間的結(jié)論是否仍然成立,若成立,請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

2)拓展:如圖3,在△ABC中,∠BAC90°,ABAC2.點(diǎn)D、E均在邊BC邊上,且∠DAE45°,若BD1,求DE的長(zhǎng).

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【題目】如圖,已知直線與拋物線相交于兩點(diǎn).

1)求拋物線的解析式.

2)在直線下方的拋物線上求點(diǎn),求的面積等于20

3)若在拋物線上,作軸于點(diǎn),若相似,求點(diǎn)的坐標(biāo).

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【題目】如圖,直線y=﹣2x+cx軸于點(diǎn)A3,0),交y軸于點(diǎn)B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)AB

1)求拋物線的解析式;

2)點(diǎn)Mm,0)是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)M不與點(diǎn)O,A重合),過(guò)點(diǎn)My軸的平行線,交直線AB于點(diǎn)P,交拋物線于點(diǎn)N,若NPAP,求m的值;

3)若拋物線上存在點(diǎn)Q,使∠QBA45°,請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式和頂點(diǎn)B的坐標(biāo);

2)如圖1,拋物線與y軸交于點(diǎn)C,連接AC,過(guò)AADx軸于點(diǎn)D,E是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A,C兩點(diǎn)重合);

i)若直線BE將四邊形ACOD分成面積比為13的兩部分,求點(diǎn)E的坐標(biāo);

ii)如圖2,連接DE,作矩形DEFG,在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在點(diǎn)G落在y軸上的同時(shí)點(diǎn)F恰好落在拋物線上?若存在,求出此時(shí)AE的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題目】如圖,已知RtABC中∠C=90°,AB=10,AC=8

1)作AB的垂直平分線DE,交AB于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E(要求尺規(guī)作圖,不寫(xiě)作法,保留作圖痕跡);

2)求AE的長(zhǎng).

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(2)若乙隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過(guò)12天,則甲隊(duì)從開(kāi)始施工到完成該工程至少需要多少天?

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