Question

【題目】如圖，在中，，，D是AC的中點，過點A作直線，過點D的直線EF交BC的延長線于點E，交直線l于點F，連接AE、CF．

（1）求證：①≌；②；

（2）若，試判斷四邊形AFCE是什么特殊四邊形，并證明你的結論；

（3）若，探索：是否存在這樣的能使四邊形AFCE成為正方形？若能，求出滿足條件時的的度數(shù)；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析；（2）四邊形AFCE是矩形，證明見解析；（3）當EF⊥AC，∠B=22.5°時，四邊形AFCE是正方形，證明見解析．

【解析】

（1）①根據(jù)中點和平行即可找出條件證明全等．

②由全等的性質可以證明出四邊形AFCE是平行四邊形，即可得到AE=FC．

（2）根據(jù)和可證明出△DCE為等邊三角形，進而得到AC=EF即可證明出四邊形AFCE是矩形．

（3）根據(jù)四邊形AFCE是平行四邊形，且EF⊥AC，得到四邊形AFCE是菱形．由AC=BC，證出△DCE是等腰直角三角形即可得到AC=EF，進而證明出菱形AFCE是正方形．所以存在這樣的．

（1）①

∵AF∥BE，∴∠FAD=∠ECD，∠AFD=∠CED．

∵AD=CD，∴△ADF≌△CDE．

②由△ADF≌△CDE，∴AF=CE．

∵AF∥BE，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∴AE=FC．

（2）四邊形AFCE是矩形．

∵四邊形AFCE是平行四邊形，∴AD=DC，ED=DF．

∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=30°，∴∠ACE=60°．

∵∠CDE=2∠B=60°，∴△DCE為等邊三角形，∴CD=ED，∴AC=EF，∴四邊形AFCE是矩形．

（3）當EF⊥AC，∠B=22.5°時，四邊形AFCE是正方形．

∵四邊形AFCE是平行四邊形，且EF⊥AC，∴四邊形AFCE是菱形．

∵AC=BC，∴∠BAC=∠B=22.5°，∴∠DCE=2∠B=45°，∴△DCE是等腰直角三角形，即DC=DE，∴AC=EF，∴菱形AFCE是正方形．

即當EF⊥AC，∠B=22.5°時，四邊形AFCE是正方形．