Question

【題目】已知，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（0，2），以P為圓心，OP為半徑的半圓與y軸的另一個交點(diǎn)是C，一次函數(shù)y=﹣x+m（m為實(shí)數(shù)）的圖象為直線l，l分別交x軸，y軸于A，B兩點(diǎn)，如圖1．

（1）B點(diǎn)坐標(biāo)是 （用含m的代數(shù)式表示），∠ABO= °；

（2）若點(diǎn)N是直線AB與半圓CO的一個公共點(diǎn)（兩個公共點(diǎn)時，N為右側(cè)一點(diǎn)），過點(diǎn)N作⊙P的切線交x軸于點(diǎn)E，如圖2．

①是否存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

②當(dāng)時，求m的值．

Answer 1

【答案】（1），30；（2）m=2或3；（3）m=．

【解析】

試題分析：（1）首先求出直線與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得出答案，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠ABO的度數(shù)；

（2）①分別利用∠NEB=90°和∠ENB=90°，結(jié)合切線的性質(zhì)得出m的值；

②首先求出NG：EN=，再得出△PHN∽△NGE，再利用相似三角形的性質(zhì)，進(jìn)而得出m的值．

試題解析：（1）當(dāng)y=0，則0=﹣x+m，

解得：x=m，

故B點(diǎn)坐標(biāo)是（用含m的代數(shù)式表示），

∵一次函數(shù)y=﹣x+m與y軸交于點(diǎn)（0，m），

∴tan∠ABO==，

∴∠ABO=30°；

故答案為：，30；

（2）①如圖①，假設(shè)存在這樣的m的值，使得△EBN是直角三角形．連接NP

若∠NEB=90°，∵NE是⊙P的切線，

∴∠PNE=90°，

∵∠POE=90°，

∴四邊形OPNE是矩形，

∴PN=2，∠APN=90°，

在Rt△APN中，PN=2，∠BAO=60°，

∴PA=1，

∴m=3，

若∠ENB=90°，∵NE是⊙P的切線，

∴∠PNE=90°，

∴點(diǎn)P、N、B三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，

∴m=2，

綜上可知，m=2或3；

②如圖②，連接PN，過點(diǎn)E作，EG⊥AB于G，過點(diǎn)P作，PH⊥AB于H，

則PA=m﹣2，PH=，

∵，∴EB=，EN=EO=，EG=，

∴EG：EN=1：4，∴NG：EN=，

∵∠PNE=90°，∴∠PNH+∠ENG=90°，

∵∠GNE+∠NEG=90°，

∴∠NEG=∠PNH，

∵∠PHN=∠EGN=90°，

∴△PHN∽△NGE，

∴，

∴，

解得：m=．