Question

OAB是圓心角為60°的扇形，圓O′內(nèi)切于扇形OAB，且圓O′的面積為16π，若用這個扇形做成一個圓錐的側(cè)面，求這個圓錐的高及表面積．

Answer 1

考點：圓錐的計算

專題：計算題

分析：連結(jié)OO′交弧AB于C，作O′D⊥OB，如圖，扇形OAB的半徑為R，圓O′的半徑為r，根據(jù)圓的面積公式可計算出r=4，再利用兩圓相切和切線的性質(zhì)得OC=R，O′D=O′C=4，在Rt△OO′D中，計算出OO′=2O′D=8，則OC=12，設(shè)圓錐的底面圓的半徑為a，根據(jù)弧長公式得到2πa=

60•π•12

180

，解得a=2，然后利用勾股定理計算這個圓錐的高；根據(jù)扇形的面積公式計算這個圓錐的表面積．

解答：解：連結(jié)OO′交弧AB于C，作O′D⊥OB，如圖，扇形OAB的半徑為R，圓O′的半徑為r，
∵圓O′的面積為16π
∴πr²=16π，解得r=4，
∵圓O′內(nèi)切于扇形OAB，
∴OC=R，O′D=O′C=4，
∵∠AOB=60°，
∴∠O′OD=30°，
在Rt△OO′D中，OO′=2O′D=8，
∴OC=8+4=12，
設(shè)圓錐的底面圓的半徑為a，
2πa=

60•π•12

180

，解得a=2，
∴這個圓錐的高=

122-22

=2

35

，
這個圓錐的表面積=π•2²+

1

2

•2π•2•12=28π．

點評：本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．也考查了勾股定理和兩圓相切的性質(zhì)．