【題目】如圖所示,已知二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖像與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A(3,0)和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C(03),連接AC.

1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式;

2)在(1)中位于第一象限內(nèi)的拋物線上是否存在點(diǎn)D,使得ACD的面積最大?若存在,求出點(diǎn)D的坐標(biāo)及ACD面積的最大值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

3)在拋物線上是否存在點(diǎn)E,使得ACE是以AC為直角邊的直角三角形如果存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)即可;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)y=-x2+2x+3;(2)拋物線上存在點(diǎn)D,使得ACD的面積最大,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為( , )ACD面積的最大值 ;(3)在拋物線上存在點(diǎn)E,使得ACE是以AC為直角邊的直角三角形

點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,4)(-2,-5).

【解析】

(1)因?yàn)辄c(diǎn)A(3,0),點(diǎn)C(0,3)在拋物線y=x2+bx+c上,可代入確定bc的值;

(2)過(guò)點(diǎn)DDHx軸,設(shè)D(t,-t2+2t+3),先利用圖象上點(diǎn)的特征表示出SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC=,再利用頂點(diǎn)坐標(biāo)求最值即可;

(3)分兩種情況討論:①過(guò)點(diǎn)AAE1AC,交拋物線于點(diǎn)E1,y軸于點(diǎn)F,連接E1C,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),再求直線AE的解析式為yx3,再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求解即可;②過(guò)點(diǎn)CCECA,交拋物線于點(diǎn)E2、交x軸于點(diǎn)M,連接AE2,求出直線CM的解析式為yx3,再與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立方程組求解即可.

1)解:∵二次函數(shù)y=-x2+bx+cx軸的交點(diǎn)為點(diǎn)A(3,0)y軸交于點(diǎn)C(0,3)

解之得

∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=-x2+2x+3

2)解:如圖,設(shè)D(t,-t2+2t+3),過(guò)點(diǎn)DDHx軸,垂足為H,

SACD=S梯形OCDH+SAHD-SAOC

= (-t2+2t+3+3)+ (3-t)(-t2+2t+3)- ×3×3

=

=

<0

∴當(dāng)t= 時(shí),ACD的面積有最大值

此時(shí)-t2+2t+3=

∴拋物線上存在點(diǎn)D,使得ACD的面積最大,此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為( )ACD面積的最大值

3)在拋物線上存在點(diǎn)E,使得ACE是以AC為直角邊的直角三角形

點(diǎn)E的坐標(biāo)是(1,4)(-2,-5).

理由如下:有兩種情況:

①如圖,

過(guò)點(diǎn)AAE1AC,交拋物線于點(diǎn)E1、交y軸于點(diǎn)F,連接E1C

COAO3,

∴∠CAO45°,

∴∠FAO45°,AOOF3

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0,3).

設(shè)直線AE的解析式為ykxb

將(0,3),(3,0)代入ykxb得:

解得

∴直線AE的解析式為yx3,

解得

∴點(diǎn)E1的坐標(biāo)為(2,5).

②如圖,

過(guò)點(diǎn)CCECA,交拋物線于點(diǎn)E2、交x軸于點(diǎn)M,連接AE2

∵∠CAO45°,

∴∠CMA45°,OMOC3

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(30),

設(shè)直線CM的解析式為ykxb,

將(0,3),(-3,0)代入ykxb得:

解得

∴直線CM的解析式為yx3

解得:

∴點(diǎn)E2的坐標(biāo)為(1,4).

綜上,在拋物線上存在點(diǎn)E12,5)、E214),使ACE1、ACE2是以AC為直角邊的直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知:均為等腰直角三角形,,,,連接.

1)如圖1所示,線段的數(shù)量關(guān)系是_____,位置關(guān)系是_____;

2)在圖1中,若點(diǎn)M、PN分別為的中點(diǎn),連接,請(qǐng)判斷的形狀,并說(shuō)明理由;

3)如圖2所示,若M、N、P分別為上的點(diǎn),且滿足,,連接,則線段長(zhǎng)度是多少?

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(﹣40),點(diǎn)By軸上,若反比例函數(shù)y=k≠0)的圖象過(guò)點(diǎn)C,則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為_______

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】ABC中,∠ABC=90°.

(1)如圖1,分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作經(jīng)過(guò)點(diǎn)B的直線的垂線,垂足分別為M、N,求證:ABM∽△BCN;

(2)如圖2,P是邊BC上一點(diǎn),∠BAP=C,tanPAC=,求tanC的值;

(3)如圖3,D是邊CA延長(zhǎng)線上一點(diǎn),AE=AB,DEB=90°,sinBAC=,直接寫出tanCEB的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】二次函數(shù)a<0)圖象與x軸的交點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為﹣3,1,與y軸交于點(diǎn)C,下面四個(gè)結(jié)論:

①16a﹣4b+c<0;②P(﹣5,y1),Q,y2)是函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),則y1y2;③a=﹣c;④ABC是等腰三角形,則b=﹣.其中正確的有______(請(qǐng)將結(jié)論正確的序號(hào)全部填上)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】.已知:在矩形中,是對(duì)角線,于點(diǎn),于點(diǎn);

1)如圖1,求證:;

2)如圖2,當(dāng)時(shí),連接.,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)三角形,使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形面積的.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)(AB的左側(cè)),與y的正半軸交于點(diǎn)C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為E.

(1)拋物線的對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)為_____,點(diǎn)A的坐標(biāo)為_____;

(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切,試求出拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)Qy軸的平行線,與直線BC交于點(diǎn)M,與拋物線交于點(diǎn)N,連結(jié)CN,將CMN沿CN翻折,M的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為M′.在圖②中探究:是否存在點(diǎn)Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請(qǐng)求出Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】在矩形ABCD中,AB12,P是邊AB上一點(diǎn),把△PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)BBECG,垂足為E且在AD上,BEPC于點(diǎn)F

1)如圖1,若點(diǎn)EAD的中點(diǎn),求證:△AEB≌△DEC

2)如圖2,當(dāng)AD25,且AEDE時(shí),求的值;

3)如圖3,當(dāng)BEEF108時(shí),求BP的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】4張相同的卡片,上面分別寫有數(shù)字12、35,將卡片洗勻后背面朝上.

(1)從中任意抽取1張,抽得的卡片上數(shù)字為奇數(shù)的概率是_______

(2)從中任意抽取1張,把上面的數(shù)字作為十位數(shù),記錄后不放回,再任意抽取1張把上面的數(shù)字作為個(gè)位數(shù),求組成的兩位數(shù)是3的倍數(shù)的概率.(用樹(shù)狀圖或列表的方法)

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案