【題目】如圖①已知拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的圖象與x軸交于A、B兩點(AB的左側(cè)),與y的正半軸交于點C,連結(jié)BC,二次函數(shù)的對稱軸與x軸的交點為E.

(1)拋物線的對稱軸與x軸的交點E坐標(biāo)為_____,點A的坐標(biāo)為_____;

(2)若以E為圓心的圓與y軸和直線BC都相切,試求出拋物線的解析式;

(3)在(2)的條件下,如圖②Q(m,0)是x的正半軸上一點,過點Qy軸的平行線,與直線BC交于點M,與拋物線交于點N,連結(jié)CN,將CMN沿CN翻折,M的對應(yīng)點為M′.在圖②中探究:是否存在點Q,使得M′恰好落在y軸上?若存在,請求出Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)(1.5,0) (-1,0)

(2)

(3)存在,.

【解析】

(1)由拋物線的對稱軸為直線求出拋物線y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)的對稱軸方程即可求得點E的坐標(biāo);在y=ax2﹣3ax﹣4a(a<0)y=0可得關(guān)于x的方程ax2﹣3ax﹣4a=0,解方程即可求得點A的坐標(biāo);

(2)如圖1,設(shè)⊙E與直線BC相切于點D,連接DE,則DE⊥BC,結(jié)合(1)可得DE=OE=,EB=,OC=-4a,在Rt△BDE中由勾股定理可得BD=2,這樣由tan∠OBC=即可列出關(guān)于a的方程,解方程求得a的值即可得到拋物線的解析式;

(3)由折疊的性質(zhì)和MN∥y軸可得∠MCN=∠M′CN=∠MNC,由此可得CM=MN,由點B的坐標(biāo)為(4,0),點C的坐標(biāo)為(0,3)可得線段BC=5,直線BC的解析式為y=﹣x+3,由此即可得到M、N的坐標(biāo)分別為(m,﹣m+3)、(m,﹣m2+m+3),作MF⊥OCF,這樣由sin∠BCO=即可解得CM=m,然后分點N在直線BC的上方和下方兩種情況用含m的代數(shù)式表達(dá)出MN的長度,結(jié)合MN=CM即可列出關(guān)于m的方程,解方程即可求得對應(yīng)的m的值,從而得到對應(yīng)的點Q的坐標(biāo).

(1)∵對稱軸x=,

∴點E坐標(biāo)(,0),

y=0,則有ax2﹣3ax﹣4a=0,

x=﹣14,

∴點A坐標(biāo)(﹣1,0).

故答案分別為(,0),(﹣1,0).

(2)如圖①中,設(shè)⊙E與直線BC相切于點D,連接DE,則DEBC,

DE=OE=,EB=,OC=﹣4a,

DB=,

tanOBC=,

,解得a=,

∴拋物線解析式為y=

(3)如圖②中,由題意∠M′CN=NCB,

MNOM′,

∴∠M′CN=CNM,

MN=CM,

∵點B的坐標(biāo)為(4,0),點C的坐標(biāo)為(0,3),

直線BC解析式為y=﹣x+3,BC=5,

M(m,﹣m+3),N(m,﹣m2+m+3),作MFOCF,

sinBCO=

,

CM=m,

①當(dāng)N在直線BC上方時,﹣x2+x+3﹣(﹣x+3)=m,

解得:m=0(舍棄),

Q1,0).

②當(dāng)N在直線BC下方時,(﹣m+3)﹣(﹣m2+m+3)=m,

解得m=0(舍棄),

Q2,0),

綜上所述:點Q坐標(biāo)為(,0)或(,0).

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(2)y軸上是否存在一點P,使PBC為等腰三角形.若存在,請求出點P的坐標(biāo);

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