Question

已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作FG∥AB，分別交BC、AC于點(diǎn)F、G．
求證：（1）△COD是等腰三角形；（2）CD=GA．

Answer 1

證明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠1=∠2，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠3=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEO=90°，
∴∠2+∠4=90°
∴∠3=∠4，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴OC=DC，即△COD是等腰三角形；

（2）過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，
∵BD平分∠ABC，DH⊥AB于H，DC⊥BC于C，
∴DC=DH，
∵DC=OC，
∴OC=DH，
∵FG∥AB，
∴∠6=∠A，
∴△COG≌△DHA，
∴CG=DA，
∴CG-CD=DA-DG，
即CD=AG．
分析：（1）若要證明△COD是等腰三角形，則可以轉(zhuǎn)換證∠3=∠5，現(xiàn)在易知∠4=∠5，所以再證明∠3=∠4即可，由條件知∠1=∠2，
∠1+∠3=90°，∠2+∠4=90°所以可以證明出∠3=∠4，即OC=OD，即△COD是等腰三角形．
（2）若要證明CD=GA，則可以先證明CG=DA，AD所在的三角形是ADH（過(guò)D作DH⊥AB），CG所在的三角形是GOC，所以可由已知條件證明△COG≌△DHA．再利用CG-DG=DA-DG，證得CG=AG．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等腰三角形的判斷方法：等角對(duì)等邊；即如何證明一對(duì)線段相等常用的方法：證線段所在的三角形全等．