Question

在等邊△ABC中，AO是∠BAC的平分線，D為AO上一點，以CD為一邊且在CD下方作等邊△CDE，求證：AB⊥EB．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：證明題

分析：由AO是∠BAC的平分線，得出∠CAD=30°，△ABC與△DCE是等邊三角形，可得AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，又由∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，即可證得∠ACD=∠BCE，所以根據(jù)SAS即可證得△ACD≌△BCE；得出∠CBE=∠CAD=30°，進一步得出∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，得出結(jié)論．

解答：證明：如圖，

∵AO是∠BAC的平分線，△ABC與△DCE是等邊三角形，
∴∠CAD=

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∠BAC=30°，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD+∠DCB=∠ECB+∠DCB=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；
∴∠CBE=∠CAD=30°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°，
即AB⊥EB．

點評：此題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，垂直的判定以及角平分線的意義，結(jié)合圖形，靈活解決問題．