Question

【題目】將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線(xiàn)段，連接得，又將線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段（如圖①）．

求的大�。ńY(jié)果用含的式子表示）；

又將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，連接（如圖②）求；

連接、，試探究當(dāng)為何值時(shí)，．

Answer 1

【答案】(1);(2)； (3) 當(dāng)為時(shí)，．

【解析】

（1）由于線(xiàn)段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度α（0°<α<60°）得到線(xiàn)段AC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AC，∠BAC=α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理得到 再由線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線(xiàn)段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CBD=60°，然后利用∠ABD=∠ABC-∠CBD進(jìn)行計(jì)算；
（2）由線(xiàn)段AB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線(xiàn)段BE，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AB=AE，∠BAE=60°，則AC=AE，∠CAE=60°-α，利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和得到 然后利用∠BCE=∠ACB+∠ACE計(jì)算得到∠BCE=150°；
（3）由線(xiàn)段BC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得線(xiàn)段BD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BC=BD，∠CBD=60°，則可判斷△BCD為等腰直角三角形，則∠BCD=60°，CD=BC，
所以∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°，加上∠DEC=45°，于是△DEC為等腰直角三角形，則CE=CD，所以CB=CE，然后利用“SSS”證明△ABC≌△AEC，得到∠BAC=∠EAC，所以

∵線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度得到線(xiàn)段，

∴，，

∴，

∴，

∵線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，

∴，

∴；

∵線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，

∴，，

∴，，

∴，

∴；如圖②，

∵線(xiàn)段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線(xiàn)段，

∴，，

∴為等邊三角形，

∴，，

∴，

∵，

∴為等腰直角三角形，

∴，

∴，

在和中

，

∴，

∴，

∴，

即，

當(dāng)為時(shí)，．