Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，直角∠GEF的兩直角邊EF、EG分別交CD、BC于點(diǎn)F、G．

（1）若點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，求EG的長(zhǎng)；

（2）當(dāng)直角∠GEF繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中與邊CD、BC交于點(diǎn)F、G．∠EFG的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠EFG的值；

（3）如圖3，連接CE交FG于點(diǎn)H，若，請(qǐng)求出CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）∠EFG的大小不發(fā)生變化，理由見詳解；；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，可證，再根據(jù)可得四邊形EGCF是矩形，則點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，可求出EG；

（2）作交于，交于，可得是繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)而得到的，利用，，易證，根據(jù)相似比可得，則有，可知的大小在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中不會(huì)發(fā)生變化；利用，，可得，，則；

（3）連接CE交FG于點(diǎn)H，作交于，交于，過點(diǎn)E作交于，則是繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)而得到的，由（2）知的大小在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中不會(huì)發(fā)生變化，易證，則，有，可得，設(shè)，則，可求得，,利用勾股定理即可求出的值，即可得到的值．

解：（1）如圖示，

∵點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是邊CD的中點(diǎn)，

∴,

∵,

∴

∴四邊形EGCF是矩形，

∴,

∴點(diǎn)G是邊BC的中點(diǎn)，

∴;

（2）答：∠EFG的大小不會(huì)發(fā)生變化。

證明：如圖示：作交于，交于，連接

∴,,

∴是繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)而得到的，

∵

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴的大小在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中不會(huì)發(fā)生變化；

∵點(diǎn)E是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，，，

∴，

∴

（3）如圖示，連接CE交FG于點(diǎn)H，作交于，交于，過點(diǎn)E作交于，

則是繞直角頂點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)而得到的，

∴

又∵

∴

∴

∴

∴，即：,

設(shè)，則，

由（2）可知：，，

∴，即：，

∴，,

在中，,

即：，解之得：（取正值），

即：．