Question

14．如圖．正方形ABCD的邊長為4，點E為AD邊上一點．，AE=1，連接AC，CE，過點E作AB的平行線交AC于點P₁，過點P₁作AD的平行線交CE于Q₁，再過Q₁作AB的平行線交AC于P₂，…如此不斷進行下去形成△AEP₁，△P₁Q₁P₂，△P₂Q₂P₃，…，記它們的面積之和為S₁，類似地形成△EP₁Q₁，△Q₁P₂Q₂，△Q₂P₃Q₃，…，記它們的面積之和為S₂，則$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$的值為（　�。�

• A． $\frac{3}{5}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． $\frac{5}{6}$

Answer 1

分析 先證明${S}_{△E{P}_{1}{Q}_{1}}$：${S}_{△AE{P}_{1}}$=3：4，同理：${S}_{△{Q}_{1}{Q}_{2}{P}_{2}}$：${S}_{△{P}_{1}{P}_{2}{Q}_{1}}$=3：4，…由此即可解決問題．

解答 解：正方形ABCD中，∠CAD=45°，
∵P₁Q₁∥P₂Q₂=P₃Q₃…，
∴∠Q₁PC=∠Q₂P₂C=Q₃P₃C=…=45°．
∵P₁E∥P₂Q₁∥P₃Q₂∥…∥AB，
∴△AP₁E，△P₁Q₁P₂，△P₂Q₂P₃都是等腰直角三角形，
∴P₁E=AE，P₁Q₁=P₂Q₁，P₃Q₂=P₂Q₂，…
∵CD∥EP₁，
∴∠DCE=∠Q₁EP₁，
∴tan∠DCE=tan∠Q₁EP₁，=$\frac{DE}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{{P}_{1}{Q}_{1}}{E{P}_{1}}$=$\frac{3}{4}$，
∴${S}_{△E{P}_{1}{Q}_{1}}$：${S}_{△AE{P}_{1}}$=$\frac{1}{2}$•EP₁•P₁Q₁：$\frac{1}{2}$•AE•EP₁=3：4，
同理：${S}_{△{Q}_{1}{Q}_{2}{P}_{2}}$：${S}_{△{P}_{1}{P}_{2}{Q}_{1}}$=3：4，…
∴$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3}{4}$．
故選B．

點評 本題考查正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考常考題型．