Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB=1，BC=2．將點A折疊到CD邊上，記折疊后A點對應的點為P（P與D點不重合），折痕EF只與邊AD、BC相交，交點分別為E、F．過P作PN∥BC交AB于N、交EF于M，連接PA、PE、AM，EF與PA相交于O．
（1）指出四邊形PEAM的形狀（不需證明）；
（2）記∠EPM=a，△AOM、△AMN的面積分別為S₁、S₂．
①求證：

S1

tan a 2

=

1

8

PA2；
②設AN=x，y=

S1-S2

tan a 2

，試求出以x為自變量的函數(shù)y的解析式，并確定y的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合菱形的判定定理即可推出四邊形AMPE為菱形，
（2）①四邊形AMPE為菱形，即可得：∠MAP=

1

2

α，S₁=

1

2

OA•OM，OA=

1

2

PA，又由在Rt△AOM中，tan

α

2

=

OM

OA

，求得OM=OA•tan

α

2

；則可得

S1

tan a 2

=

1

8

PA2；
②首先過點D作DH⊥BC于H，則DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，求得PN=1+x，在Rt△ANP中，由AP²=AN²+PN²，可求得AP²的值，然后過E作PM⊥EG于G，令△EGM的面積為S，由△EGM∽△AOM，即可得S=

4x2

AP2

S₁，則問題得解．

解答：解：（1）答案為：菱形；

（2）①證明：
∵四邊形AMPE為菱形，
∴∠MAP=

1

2

α，S₁=

1

2

OA•OM，OA=

1

2

PA，
∵在Rt△AOM中，tan

α

2

=

OM

OA

，
∴OM=OA•tan

α

2

；
∴S₁=

1

2

OA•OM=

1

2

×

1

2

PA×

1

2

PA•tan

α

2

=

1

8

PA²•tan

α

2

∴

S1

tan a 2

=

1

8

PA2；
②過點D作DH⊥BC于H，交PN于K．
則：DK⊥PN，BH=AB=AD=DH=1，DK=AN=x，
∵CH=BC-BH=2-1=1，
∴CH=DH，
∴PK=DK=x，
∴PN=1+x，
在Rt△ANP中，
AP²=AN²+PN²=x²+（1+x）²=2x²+2x+1．
過E作EG⊥PM于G，令△EGM的面積為S，
∵△EGM∽△AOM，
∴

S

S1

=(

EG

AO

)2=

x2

1 4 AP2

=

4x2

AP2

，
則S=

4x2

AP2

S₁，
∵△AOE由△POE折疊而成，
∴AE=PE，AP⊥EM，
∵四邊形AMPE是菱形，
∴AN=DK=x，
如圖，當E與D重合時，
∵PN=1+x，AN=x，AM=AD=PM=PD=1，
∴MN=PN-PM=1+x-1=x，
∴AN=MN，
在Rt△AMN中，AN²+MN²=AM²，
∴x²+x²=1²，
∴x=

2

2

，
∴0＜x＜

2

2

，
∵四邊形ANGE的面積等于菱形AMPE的面積，
∴4S₁=2S₁+S₂+S，即2S₁=S₂+S，
∴S₁-S₂=S-S₁=

4x2

AP2

S₁-S₁=（

4x2

AP2

-1）S₁，
∴y=

S1-S2

tan α 2

=（

4x2

AP2

-1）×

S1

tan α 2

=（

4x2

AP2

-1）×

1

8

AP²=

1

8

（4x²-AP²），
∴y=

1

4

x²-

1

4

x-

1

8

（-

3

16

≤y＜-

1

8

）．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的知識．此題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用．