Question

已知：如圖，在?ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，CE、AF與對角線BD分別相交于點G、H．
（1）求證：DH=HG=BG；
（2）如果AD⊥BD，求證：四邊形EGFH是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)AB∥CD，利用平行線分線段成比例定理即可求證．則DH=BD，BG=BD，即可求證；
（2）連接EF，交BD于點O，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形即可證明四邊形EGFH是平行四邊形，根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可求證．
解答：證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD．（1分）
∴△DHF∽△BHA，
∵點E、F分別是AB、CD的中點，
∴．（2分）
∴DH=．（1分）
同理：BG=．（1分）
∴DH=HG=GB=．（1分）

（2）連接EF，交BD于點O．（1分）
∵AB∥CD，AB=CD，點E、F分別是AB、CD的中點，
∴．（1分）
∴FO=EO，DO=BO．（1分）
∵DH=GB，
∴OH=OG．
∴四邊形EGFH是平行四邊形．（1分）
∵點E、O分別是AB、BD的中點，∴OE∥AD．
∵AD⊥BD，∴EF⊥GH．（1分）
∴?HEGF是菱形．（1分）
點評：本題主要考查了平行線分線段成比例定理，以及菱形的判定，正確理解定理是解決本題的關(guān)鍵．