Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OA⊥OB，AB⊥x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上．

（1）求反比例函數(shù)y= 的表達(dá)式；
（2）在x軸的負(fù)半軸上存在一點(diǎn)P，使得S△AOP= S△AOB ， 求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE．直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)，并判斷點(diǎn)E是否在該反比例函數(shù)的圖象上，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵點(diǎn)A（ ，1）在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴k= ×1= ，

∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=

（2）

解：∵A（ ，1），AB⊥x軸于點(diǎn)C，

∴OC= ，AC=1，

由射影定理得OC2=ACBC，可得BC=3，B（ ，﹣3），

S△AOB= × ×4=2 ．

∴S△AOP= S△AOB= ．

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），

∴ ×|m|×1= ，

∴|m|=2 ，

∵P是x軸的負(fù)半軸上的點(diǎn)，

∴m=﹣2 ，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣2 ，0）

（3）

解：點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上，理由如下：

∵OA⊥OB，OA=2，OB=2 ，AB=4，

∴sin∠ABO= = = ，

∴∠ABO=30°，

∵將△BOA繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BDE，

∴△BOA≌△BDE，∠OBD=60°，

∴BO=BD=2 ，OA=DE=2，∠BOA=∠BDE=90°，∠ABD=30°+60°=90°，

而BD﹣OC= ，BC﹣DE=1，

∴E（﹣ ，﹣1），

∵﹣ ×（﹣1）= ，

∴點(diǎn)E在該反比例函數(shù)的圖象上

【解析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正確求出解析式是解題的關(guān)鍵．（1）將點(diǎn)A（ ，1）代入y= ，利用待定系數(shù)法即可求出反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）先由射影定理求出BC=3，那么B（ ，﹣3），計(jì)算求出S△AOB= × ×4=2 ．則S△AOP= S△AOB= ．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，0），列出方程求解即可；（3）先解△OAB，得出∠ABO=30°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出E點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣ ，﹣1），即可求解．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用比例系數(shù)k的幾何意義，掌握幾何意義：表示反比例函數(shù)圖像上的點(diǎn)向兩坐標(biāo)軸所作的垂線段與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積即可以解答此題．