Question

【題目】已知：如圖所示，在中，、分別是和的角平分線，交、于點(diǎn)、，連接、．

（1）求證：、互相平分；

（2）若，，，求線段的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）證明四邊形DEBF是平行四邊形即可；

（2）過D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，通過已知可證△ADE是等邊三角形，所以GE=2，DE=4，由勾股定理可求DG=，由，得EB=2，所以GB=4，由勾股定理得．

解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，

∵DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，

∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，

∵CD∥AB，

∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，

∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，

∴AE=AD，CF=CB，

∴AE=CF，

∴AB-AE=CD-CF 即BE=DF，

∵DF∥BE，

∴四邊形DEBF是平行四邊形，

∴BD、EF互相平分；

（2）過D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，

∵∠A=60°，AE=AD，

∴△ADE是等邊三角形，

∵AD=4，

∴DE=AE=4，

∴

∵AE=2EB，

∴BE=2，

∴GB=4，

∴．