Question

已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，∠A=60°，直線EF經(jīng)過點C，分別交AB、AD的延長線于E、F兩點，連接ED、FB相交于點H．
（1）如果菱形的邊長是3，DF=2，求BE的長；
（2）除△AEF外，△BEC與圖中哪一個三角形相似，找出來并證明；
（3）請說明BD²=DH•DE的理由．

Answer 1

解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，
∴BC∥AD，
∴△BCE∽△AFE，
∴，
即，
即BE=4.5；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD∥AB，
∴△DCF∽△AEF，
∴△BEC∽△DCF；

（3）∵△BEC∽△DCF，
∴，
在菱形ABCD中，∠A=60°，
∴AB=AD=BD=BC=CD，∠EBD=∠BDF=120°，
∴，
∴△BED∽△DBF，
∴∠BED=∠DBF，
又因為∠BDE作為公共角，
∴△BHD∽△EBD，
∴，
即BD²=DH•DE．
分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定證明△BCE∽△AFE，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊的比相等求解；
（2）根據(jù)相似三角形的傳遞性即可找到△DCF；
（3）利用菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定以及性質(zhì)可以證明△BHD∽△EBD，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證明．
點評：此題綜合考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、等邊三角形的判定及性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，尤其是第三問的難度較大．