Question

如圖，在四邊形ABCD中（AB＞AD），AC為對(duì)角線，且AC⊥BC，將四邊形ABCD沿AC折疊，點(diǎn)D恰好落在AB的中點(diǎn)E處．
（1）求證：四邊形AECD是菱形；
（2）請(qǐng)你在△ACB中再添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD是等腰梯形，并加以證明．

Answer 1

考點(diǎn)：等腰梯形的判定,菱形的判定,翻折變換（折疊問(wèn)題）

專題：

分析：（1）根據(jù)直角三角形性質(zhì)得出CE=AE=BE，根據(jù)折疊得出DC=CE，AD=AE，推出AD=DC=CE=AE即可；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得出DC∥AB，求出AD=BC，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可．

解答：（1）證明；∵AC⊥BC，
∴∠ACB=90°，
∵E為AB的中點(diǎn)，
∴CE=AE=BE，
∵將四邊形ABCD沿AC折疊，點(diǎn)D恰好落在AB的中點(diǎn)E處，
∴DC=CE，AD=AE，
∴AD=DC=CE=AE，
∴四邊形AECD是菱形；

（2）解：AB=2BC，理由如下：
∵CE=AE=BE，AB=2BC，
∴CE=BC，
∵AD=CE，
∴BC=AD，
∵四邊形AECD是菱形，
∴DC∥AB，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
即當(dāng)AB=2BC時(shí)，四邊形ABCD是等腰梯形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)和判定，等腰梯形的判定，直角三角形性質(zhì)，折疊的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較典型，難度適中．