【題目】(問(wèn)題探究)課堂上老師提出了這樣的問(wèn)題:“如圖①,在中,,點(diǎn)是邊上的一點(diǎn),,求的長(zhǎng)”.某同學(xué)做了如下的思考:如圖②,過(guò)點(diǎn)作,交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),進(jìn)而求解,請(qǐng)回答下列問(wèn)題:
(1)___________度;
(2)求的長(zhǎng).
(拓展應(yīng)用)如圖③,在四邊形中,,對(duì)角線相交于點(diǎn),且,,則的長(zhǎng)為_____________.
【答案】【問(wèn)題探究】(1);(2).【拓展應(yīng)用】.
【解析】
問(wèn)題探究:
(1)由平行線的性質(zhì)得出∠ACE+∠BAC=180°,即可得出結(jié)果;
(2)由平行線的性質(zhì)得出∠E=∠BAD=72°,證出AC=AE,由平行線證明△ABD∽△ECD,求出AD=2;ED=4,ED=2,得出AC=AE=AD+ED=6;
拓展應(yīng)用:過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F.證明△BAE∽△DFE,得出 =2,得出AB=2DF,EF=AE=1,AF=AE+EF=3,證出AC=AD,在Rt△ADF中,求出DF=AF×tan∠CAD=,得出AC=AD=2DF=2,AB=2DF=2,得出AC=AB,在Rt△ABC中,求出BC= AB=2 即可.
解:(1)∵CE∥AB,
∴∠ACE+∠BAC=180°,
∴∠ACE=180°-108°=72°;
故答案為:72;
(2)∵CE∥AB,
∴∠E=∠BAD=72°,
∴∠E=∠ACE,
∴AC=AE,
∵CE∥AB,
∴△ABD∽△ECD,
∴ ,
∵BD=2CD,
∴=2,
∴AD=2ED=4,
∴ED=2,
∴AC=AE=AD+ED=4+2=6;
拓展應(yīng)用:
解:如圖3中,過(guò)點(diǎn)D作DF∥AB交AC于點(diǎn)F.
∵AC⊥AB,∴∠BAC=90°,∵DF∥AB,
∴∠DFA=∠BAC=90°,
∵∠AEB=∠DEF,
∴△BAE∽△DFE,
∴=2,
∴AB=2DF,EF=AE=1,AF=AE+EF=3,
∵∠BAD=120°,
∴∠CAD=30°,
∴∠ACD=75°=∠ADC,
∴AC=AD,
在Rt△ADF中,∵∠CAD=30°,
∴DF=AF×tan∠CAD3× ,
∴AC=AD=2DF=2,AB=2DF=2,
∴AC=AB,
在Rt△ABC中,∵∠BAC=90°,
∴BC=AB=2;
故答案為:2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形紙片ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,按下列步驟進(jìn)行裁剪和拼圖:
第一步:如圖①,在線段AD上任意取一點(diǎn)E,沿EB,EC剪下一個(gè)三角形紙片EBC(余下部分不再使用);
第二步:如圖②,沿三角形EBC的中位線GH將紙片剪成兩部分,并在線段GH上任意取一點(diǎn)M,線段BC上任意取一點(diǎn)N,沿MN將梯形紙片GBCH剪成兩部分;
第三步:如圖③,將MN左側(cè)紙片繞G點(diǎn)按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180,使線段GB與GE重合,將MN右側(cè)紙片繞H點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)180,使線段HC與HE重合,拼成一個(gè)與三角形紙片EBC面積相等的四邊形紙片(裁剪和拼圖過(guò)程均無(wú)縫且不重疊)則拼成的這個(gè)四邊形紙片的周長(zhǎng)的最大值為___cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線y=﹣x+與坐標(biāo)軸交與點(diǎn)A、B.點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上,且AB:AC=1:2.
(1)求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)若點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā),以每秒1個(gè)單位的速度沿射線CB運(yùn)動(dòng),連接AM,設(shè)△ABM的面積為S,點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)點(diǎn)P是y軸上的點(diǎn),在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)Q,使以A、B、P、Q為頂點(diǎn),且以AB為邊的四邊形是菱形,若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校為了解學(xué)生“陽(yáng)光體育運(yùn)動(dòng)”的實(shí)施情況,隨機(jī)調(diào)查了40名學(xué)生一周的體育鍛煉時(shí)間,并繪制成了如下圖所示的條形統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的數(shù)據(jù),該校40名同學(xué)一周參加體育鍛煉時(shí)間的眾數(shù)與中位數(shù)分別是( )
A.8,9B.8,8C.9,8D.10,9
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】綜合與探究:
如圖1,拋物線與軸交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)),頂點(diǎn)為,為對(duì)稱軸右側(cè)拋物線的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),直線與軸于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作,交軸于點(diǎn).
(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式及點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)如圖2,當(dāng)軸時(shí),將以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸的正方向平移,當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)停止平移.設(shè)平移秒時(shí),在平移過(guò)程中與四邊形重疊部分的面積為,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;
(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)作軸的平行線,交直線于點(diǎn),直線與交于點(diǎn),設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.
①當(dāng)時(shí),求的值;
②試探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,是否存在值,使四邊形是菱形?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四邊形ABCD中,對(duì)角線AC垂直平分BD,∠BAD=120°,AB=4,點(diǎn)E是AB的中點(diǎn),點(diǎn)F是AC上一動(dòng)點(diǎn),則EF+BF的最小值是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,過(guò)原點(diǎn)的直線與反比例函數(shù)y=(k>0)的圖象交于點(diǎn)A,B兩點(diǎn),在x軸有一點(diǎn)C(3,0),AC⊥BC,連結(jié)AC交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)D,若AD=CD,則k的值為( 。
A.B.2C.2D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某學(xué)校為了防控新型冠狀病毒,購(gòu)買了甲、乙兩種消毒液進(jìn)行校園環(huán)境消毒.己知學(xué)校第一次購(gòu)買了甲種消毒液40瓶和乙種消毒液60瓶,共花費(fèi)3 600元;第二次購(gòu)買了甲種消毒液60瓶和乙種消毒液40瓶,共花費(fèi)3 400元.
(1)每瓶甲種消毒液和每瓶乙種消毒液的價(jià)格分別是多少元?
(2)學(xué)校準(zhǔn)備第三次購(gòu)買這兩種消毒液,其中甲種消毒液比乙種消毒液多10瓶,并且總花費(fèi)不超過(guò)3 500元,最多能購(gòu)買多少瓶甲種消毒液?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y=-x2-2x+c與x軸的一個(gè)交點(diǎn)是(1,0).
(1)C的值為_______;
(2)選取適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)補(bǔ)填下表,并在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)描點(diǎn)畫出該拋物線的圖像;
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(3)根據(jù)所畫圖像,寫出y>0時(shí)x的取值范圍是_____.
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