Question

8．觀察思考
有一張三角形紙片ABC，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，沿斜邊AB的中線CD把這張紙片剪成△AC₁D₁和△BC₂D₂兩個三角形，如圖1所示，將紙片△AC₂D₂沿D₂B的方向平移（點(diǎn)A，D₂，D₁，B始終在同一條直線上），當(dāng)點(diǎn)D₂與點(diǎn)B重合時，停止平移．
解決問題
在平移過程中（如圖2所示），設(shè)C₂D₂與BC₂交于點(diǎn)E，與C₂D₂交于點(diǎn)F，試判斷四邊形FD₂D₁E可能是菱形嗎？請求出平移的距離；如果不可能，請說明理由；
拓展延伸
現(xiàn)又有一張平行四邊形紙片ABCD，AB=10cm，AD=6cm，BD=8cm，沿對角線BD把這張紙片剪成△AB₁D₁和△AB₂D₂兩個三角形，如圖3所示，將△AB₂D₂沿AB₁方向平移，在平移過程中點(diǎn)B₂始終在AB₁上，AB₁與CD₂始終保持平行，當(dāng)點(diǎn)A于點(diǎn)B₂重合時，停止平移，在平移過程中（如圖4所示），AD₁與B₂D₂交于點(diǎn)E，B₂C與B₁D₁交于點(diǎn)F，四邊形B₂FD₂E是什么四邊形？判斷并說明理由．
遷移應(yīng)用
在圖4中，四邊形B₂FD₂E的面積有可能是13cm²嗎？判斷并說明理由．

Answer 1

分析 解決問題，根據(jù)題意證明四邊形FD₂D₁E是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定得到D₂F=D₂D₁，設(shè)AD₂=xcm，根據(jù)菱形的性質(zhì)列出方程，解方程即可；
拓展延伸，根據(jù)平行四邊形、矩形、正方形的判定定理解答即可；
拓展遷移，根據(jù)題意列出二次函數(shù)解析式，求出二次函數(shù)的最大值，即可判斷．

解答 解：解決問題 可能；平移距離為2.5cm．
∵C₁D₁∥C₂D₂，
∴∠C₁=∠AFD₂．
由題圖1的初始位置，得
C₁D₁=C₂D₂=BD₂=AD₁=5，
∴∠AC₁D₁=∠A，
∴在平移到題圖2時為∠C₁=∠A，
∴∠AFD₂=∠A，
∴AD₂=D₂F．
同理可得BD₁=D₁E．
∵AD₂=BD₁，
∴D₂F=D₁E．
∵D₂F∥D₁E，
∴四邊形FD₂D₁E是平行四邊形．
當(dāng)D₂F=D₂D₁時，平行四邊形FD₂D₁E才可為菱形．
設(shè)AD₂=xcm，
∴D₂F=xcm，D₂D₁=（5-x）cm，
∴x=5-x，
∴x=2.5，
∴當(dāng)平移的距離為2.5cm時，四邊形FD₂D₁E是菱形．
拓展延伸 矩形或正方形．
①∵AD₁∥B₂C，D₁B₁∥D₂B₂，
∴四邊形B₂FD₁E是平行四邊形．
∵在△AB₁D₁中，AB₁=10cm，AD₁=6cm，B₁D₁=8cm，
∴△AB₁D₁是直角三角形，
∴∠AD₁B₁=90°，
∴當(dāng)B₂E≠B₂F時，四邊形B₂FD₁E是矩形．
②由①可知，當(dāng)B₂E=B₂F時，四邊形B₂FD₁E是正方形．
拓展遷移 不可能；
理由：設(shè)平移距離B₂B₁為acm，四邊形B₂FD₁E的面積為ycm²．
∵B₂B₁=a，∴AB₂=10-a．
由（2）知∠B₂FD₁=90°，
∴△B₁B₂F是直角三角形．
∵sinB₁=$\frac{3}{5}$，
∴B₂F=B₂B₁•sinB₁=$\frac{3}{5}$a，
同理可得B₂E=8-$\frac{4}{5}$a，
∴y=B₂F•B₂E=$\frac{3}{5}$a•（8-$\frac{4}{5}$a）=-$\frac{12}{25}$a²+$\frac{24}{5}$a，
∴y=-$\frac{12}{25}$（a-5）²+12（0＜a＜10），
∴當(dāng)a=5時，四邊形B₂FD₁E的面積最大，為12cm²，
∴四邊形B₂FD₁E的面積不可能是13cm²．

點(diǎn)評 本題考查的是平移的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義的應(yīng)用和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握平移的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值的確定方法、銳角三角函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．