Question

【題目】課題學(xué)習(xí)：我們知道二次函數(shù)的圖象是拋物線，它也可以這樣定義：如果一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，m）（m＞0）的距離與它到定直線y=﹣m的距離相等，那么動(dòng)點(diǎn)M形成的圖形就是拋物線y=ax2（a＞0）的圖象，如圖所示．

（1）探究：當(dāng)x≠0時(shí)，a與m有何數(shù)量關(guān)系？
（2）應(yīng)用：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)A（0，4）的距離與到定直線y=﹣4的距離相等，請(qǐng)寫(xiě)出動(dòng)點(diǎn)M形成的拋物線的解析式．
（3）拓展：根據(jù)拋物線的平移變換，拋物線y= （x﹣1）2+2的圖象可以看作到定點(diǎn)A（ ， ）的距離與它到定直線y=的距離相等的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）所形成的圖形．
（4）若點(diǎn)D的坐標(biāo)是（1，8），在（2）中求得的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得PA+PD最短？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由定義可知，MA=MB，

∴x2+（y﹣m）2=（y+m）2，

∵y=ax2，

∴x2= ，

∴ =4my，

∴a=

（2）

解：由（1）可知，a= ，

∴拋物線的解析式為y= x2．

（3）1；3；1
（4）

解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)D作直線y=﹣4的垂線垂足為M，與拋物線的交點(diǎn)就是的點(diǎn)P，此時(shí)PA+PD=PD+PM最短（垂線段最短），

此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)（1， ）．

【解析】解：（3）∵拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)（1，2），a=1，
∴拋物線y= （x﹣1）2+2的圖象可以看作到定點(diǎn)A（1，3）的距離與它到定直線y=1的距離相等的動(dòng)點(diǎn)M（x，y）所形成的圖形．
所以答案是1，3，1．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的二次函數(shù)的圖象，需要了解二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱(chēng)軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)才能得出正確答案．