Question

12．如圖，已知直線AC∥BD，直線AB、CD不平行，點P在直線AB上，且和點A、B不重合．
（1）如圖①，當(dāng)點P在線段AB上時，若∠PCA=20°，∠PDB=30°，求∠CPD的度數(shù)；
（2）當(dāng)點P在A、B兩點之間運動時，∠PCA、∠PDB、∠CPD之間滿足什么樣的等量關(guān)系？（直接寫出答案）
（3）如圖②，當(dāng)點P在線段AB延長線運動時，∠PCA、∠PDB、∠CPD之間滿足什么樣的等量關(guān)系？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖①，過P點作PE∥AC交CD于E點，由于AC∥BD，則PE∥BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，所以∠CPD=50°；
（2）證明方法與（1）一樣；
（3）如圖②，過P點作PF∥BD交CD于F點，由于AC∥BD，則PF∥AC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，所以∠CPD=∠PCA-∠PDB．

解答 解：（1）如圖①，過P點作PE∥AC交CD于E點，
∵AC∥BD
∴PE∥BD，
∴∠CPE=∠PCA=20°，∠DPE=∠PDB=30°，
∴∠CPD=∠CPE+∠DPE=50°；
（2）∠CPD=∠PCA+∠PDB（證明方法與（1）一樣；
（3）∠CPD=∠PCA-∠PDB．理由如下：
如圖②，過P點作PF∥BD交CD于F點，
∵AC∥BD，
∴PF∥AC，
∴∠CPF=∠PCA，∠DPF=∠PDB，
∴∠CPD=∠CPF-∠DPF=∠PCA-∠PDB；

點評 本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．合理添加平行線是解決此題的關(guān)鍵．