Question

【題目】如圖，過(guò)正方形ABCD頂點(diǎn)B，C的⊙O與AD相切于點(diǎn)E，與CD相交于點(diǎn)F，連接EF．

（1）求證：EF平分∠BFD．

（2）若tan∠FBC＝，DF＝，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）5

【解析】

（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OE⊥AD，由四邊形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OE∥CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠EFD=∠OEF，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠OEF=∠OFE，根據(jù)角平分線的定義即可得到結(jié)論；
（2）連接PF，由BF是⊙O的直徑，得到∠BPF=90°，推出四邊形BCFP是矩形，根據(jù)tan∠FBC=，設(shè)CF=3x，BC=4x，于是得到3x+=4x，x=，求得AD=BC=4，推出DF∥OE∥AB于是得到DE：AE=OF：OB=1：1即可得到結(jié)論．

解：（1）連接OE，

∵∠C=90°，
∴BF是⊙O的直徑，
∵⊙O與AD相切于點(diǎn)E，
∴OE⊥AD，
∵四邊形ABCD的正方形，
∴CD⊥AD，
∴OE∥CD，
∴∠EFD=∠OEF，
∵OE=OF，
∴∠OEF=∠OFE，
∴∠OFE=∠EFD，
∴EF平分∠BFD；
（2）連接PF，
∵BF是⊙O的直徑，
∴∠BPF=90°，
∴四邊形BCFP是矩形，
∴PF=BC，
∵tan∠FBC=，
設(shè)CF=3x，BC=4x，
∴3x+=4x，x=，
∴AD=BC=4，
∵點(diǎn)E是切點(diǎn)，
∴OE⊥AD
∴DF∥OE∥AB
∴DE：AE=OF：OB=1：1
∴DE=AD=2，
∴EF= =5