【題目】如圖,已知拋物線經(jīng)過原點O,頂點為A(1,1),且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.
(1)求拋物線的解析式及點B、C的坐標(biāo);
(2)求△ABC的內(nèi)切圓半徑;
(3)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O,M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x,B(2,0),C(﹣1,﹣3);(2)2﹣;(3)存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).
【解析】
(1)可設(shè)頂點式,把原點坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式,聯(lián)立直線與拋物線解析式,可求得B,C點坐標(biāo);
(2)先求出AB,BC,AC,利用勾股定理的逆定理可得出△ABC是直角三角形,從而即可求出內(nèi)切圓的半徑;
(3)設(shè)出N點坐標(biāo),可表示出M點坐標(biāo),從而可表示出MN、ON的長度,當(dāng)△MON和△ABC相似時,利用三角形相似的性質(zhì)可得或,可求得N點的坐標(biāo).
解:(1)∵頂點坐標(biāo)為(1,1),
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1,
又∵拋物線過原點,
∴0=a(0﹣1)2+1,解得a=﹣1,
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1,
即y=﹣x2+2x,
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得,
解得或,
∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);
(2)由(1)知,B(2,0),C(﹣1,﹣3);
∵A(1,1),
∴AB2+BC2=AC2,
∴△ABC是直角三角形.
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r,
∴r==;
(3)假設(shè)存在滿足條件的點N,設(shè)N(x,0),則M(x,﹣x2+2x),
∴ON=|x|,MN=|﹣x2+2x|,
由(2)知,AB=,BC=3,
∵MN⊥x軸于點N,
∴∠ABC=∠MNO=90°,
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時,有或,
①當(dāng)時,
∴,即|x||﹣x+2|=|x|,
∵當(dāng)x=0時M、O、N不能構(gòu)成三角形,
∴x≠0,
∴|﹣x+2|=,
∴﹣x+2=±,解得x=或x=,
此時N點坐標(biāo)為(,0)或(,0);
②當(dāng)時,
∴,
即|x||﹣x+2|=3|x|,
∴|﹣x+2|=3,
∴﹣x+2=±3,
解得x=5或x=﹣1,
此時N點坐標(biāo)為(﹣1,0)或(5,0),
綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(,0)或(,0)或(﹣1,0)或(5,0).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為增強(qiáng)學(xué)生的安全意識,我市某中學(xué)組織初三年級1000名學(xué)生參加了“校園安全知識競賽”,隨機(jī)抽取了一個班學(xué)生的成績進(jìn)行整理,分為,,,四個等級,并把結(jié)果整理繪制成條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖(部分),請依據(jù)如圖提供的信息,完成下列問題:
(1)請估計本校初三年級等級為的學(xué)生人數(shù);
(2)學(xué)校決定從得滿分的3名女生和2名男生中隨機(jī)抽取3人參加市級比賽,請求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O的直徑AB=26,P是AB上(不與點A、B重合)的任一點,點C、D為⊙O上的兩點,若∠APD=∠BPC,則稱∠CPD為直徑AB的“回旋角”.
(1)若∠BPC=∠DPC=60°,則∠CPD是直徑AB的“回旋角”嗎?并說明理由;
(2)若的長為π,求“回旋角”∠CPD的度數(shù);
(3)若直徑AB的“回旋角”為120°,且△PCD的周長為24+13,直接寫出AP的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB 是⊙O 的弦,半徑OE⊥ AB ,P 為 AB 的延長線上一點,PC 與⊙O相切于點 C,連結(jié) CE,交 AB 于點 F,連結(jié) OC.
(1)求證:PC=PF.
(2)連接 BE,若∠CEB=30°,半徑為 8,tan P ,求 FB 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了促進(jìn)學(xué)生多樣化發(fā)展,某校組織開展了社團(tuán)活動,分別設(shè)置了體育類、藝術(shù)類、文學(xué)類及其它類社團(tuán)(要求人人參與社團(tuán),每人只能選擇一項).為了解學(xué)生喜愛哪種社團(tuán)活動,學(xué)校做了一次抽樣調(diào)查.根據(jù)收集到的數(shù)據(jù),繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖,請根據(jù)圖中提供的信息,完成下列問題:
(1)此次共調(diào)查了多少人?
(2)求文學(xué)社團(tuán)在扇形統(tǒng)計圖中所占圓心角的度數(shù);
(3)請將條形統(tǒng)計圖補(bǔ)充完整;
(4)若該校有1500名學(xué)生,請估計喜歡體育類社團(tuán)的學(xué)生有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,半徑為且坐標(biāo)原點為圓心的圓交軸、軸于點、、、,過圓上的一動點(不與重合)作,且(在右側(cè))
(1)連結(jié),當(dāng)時,則點的橫坐標(biāo)是______.
(2)連結(jié),設(shè)線段的長為,則的取值范圍是____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】利用如圖1的二維碼可以進(jìn)行身份識別.某校建立了一個身份識別系統(tǒng),圖2是某個學(xué)生的識別圖案,黑色小正方形表示1,白色小正方形表示0.將第一行數(shù)字從左到右依次記為,,,,那么可以轉(zhuǎn)換為該生所在班級序號,其序號為.如圖2第一行數(shù)字從左到右依次為0,1,0,1,序號為,表示該生為5班學(xué)生.表示6班學(xué)生的識別圖案是( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某社會調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解疫情期間初中生在家使用“筆記本”電腦上網(wǎng)課情況(分為“總是、較多、較少、不用”四種情況),從某校八、九年級各抽取相同數(shù)量的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,制作成部分統(tǒng)計圖如下所示.請根據(jù)圖中信息,回答下列問題:
(1)根據(jù)提供的信息,補(bǔ)全條形統(tǒng)計圖.
(2)九年級一共抽查了______名學(xué)生,圖中的等于______,“較多”對應(yīng)的圓心角為______度.
(3)若該校九年級共有800名學(xué)生,請你估計其中九年級使用電腦情況為“總是”的學(xué)生有多少名?
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