Question

1．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，I是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，AI的延長線交BC于點(diǎn)D，交⊙O于E，連接BE，BI，若IB平分∠ABC，EB=EI．
（I）求證：AE平分∠BAC；
（2）若BD=$\sqrt{5}$，OI⊥AD于I，求CD的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到∠ABI=∠CBI，由等腰三角形的性質(zhì)得到∠EBI=∠EIB，通過三角形外角的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論；
（2）由AB是⊙O的直徑，得到AE⊥BE，推出OI∥BE，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到AI=IE=BE，推出AE=2BE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，求得BE=2，DE=1，AE=4，AD=3，由于△ACD∽△BDE，得到$\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{DE}$=2，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）∵IB平分∠ABC，
∴∠ABI=∠CBI，
∵EB=EI，
∴∠EBI=∠EIB，
∵∠EBI=∠BAI+∠IBA，∠EBI=∠IBC+∠CBE，
∴∠BAE=∠CBE，
∵∠CBE=∠EAC，
∴∠BAE=∠CAE，
∴AE平分∠BAC；

（2）∵AB是⊙O的直徑，
∴AE⊥BE，
∵OI⊥AE，
∴OI∥BE，
∵AO=BO，
∴AI=IE=BE，
∴AE=2BE，
∵∠EBC=∠BAE，
∴△BDE∽△ABE，
∴$\frac{DE}{BE}=\frac{BE}{AE}=\frac{1}{2}$，
∵BD=$\sqrt{5}$，
∴BE=2，DE=1，
∴AE=4，∴AD=3，
∵△ACD∽△BDE，
∴$\frac{AC}{CD}=\frac{BE}{DE}$=2，
∴CD²+AC²=AD²，
即CD²+（2CD）²=9，
∴CD=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了三角形的外接圓和外心，垂徑定理，圓周角定理，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，能正確作出輔助線并求出AE=2BE是解此題的關(guān)鍵，有一定的難度．