Question

9．如圖，正方形ABCD中，點E、F分別在BC、CD上，△AEF是等邊三角形，連接AC交EF于G，下列結論：①BE=DF；②∠DAF=15°；③AC垂直平分EF；④BE+DF=EF；⑤S_△CEF=S_△ABE，其中正確的有①②③．

Answer 1

分析 通過條件可以得出△ABE≌△ADF，從而得出∠BAE=∠DAF，BE=DF，由正方形的性質(zhì)就可以得出EC=FC，就可以得出AC垂直平分EF，設EC=x，BE=y，由勾股定理就可以得出x與y的關系，表示出BE與EF，利用三角形的面積公式分別表示出S_△CEF和S_△ABE，再通過比較大小就可以得出結論．

解答 解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠BCD=∠D=∠BAD=90°．
∵△AEF等邊三角形，
∴AE=EF=AF，∠EAF=60°．
∴∠BAE+∠DAF=30°．
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AF}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE=DF（故①正確）．
∠BAE=∠DAF，
∴∠DAF+∠DAF=30°，
即∠DAF=15°（故②正確），
∵BC=CD，
∴BC-BE=CD-DF，即CE=CF，
∵AE=AF，
∴AC垂直平分EF．（故③正確）．
設EC=x，由勾股定理，得$\sqrt{2}$EF=$\sqrt{2}$x，CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
AG=AEsin60°=EFsin60°=2×CGsin60°=$\frac{\sqrt{6}}{2}$x，
∴AC=$\frac{\sqrt{6}x+\sqrt{2}x}{2}$，
∴AB=$\frac{\sqrt{3}x+x}{2}$，
∴BE=AB-x=$\frac{\sqrt{3}x-x}{2}$，
∴BE+DF=$\sqrt{3}$x-x≠$\sqrt{2}$x，（故④錯誤），
∵S_△CEF=$\frac{1}{2}$x²，
S_△ABE=$\frac{1}{4}$x²，
∴2S_△ABE=S_△CEF，（故⑤錯誤）．
綜上所述，正確的有①②③，
故答案為：①②③．

點評 本題考查了正方形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，等邊三角形的性質(zhì)的運用，三角形的面積公式的運用，解答本題時運用勾股定理的性質(zhì)解題時關鍵．