Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

（1）求拋物線的表達(dá)式及頂點D的坐標(biāo)；

（2）如圖①，點P是直線BC上方拋物線上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于點E．是否存在一點P，使線段PE的長最大？若存在，求出PE長的最大值；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，過點A作y軸的平行線，交直線BC于點F，連接DA、DB．四邊形OAFC沿射線CB方向運(yùn)動，速度為每秒1個單位長度，運(yùn)動時間為t秒，當(dāng)點C與點B重合時立即停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動過程中四邊形OAFC與四邊形ADBF重疊部分面積為S，請求出S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），C（0，﹣3）．

∴，

解得，

∴拋物線的解析式：y=﹣x²+4x﹣3，

由y=﹣x²+4x﹣3=﹣（x﹣2）²+1，可知：頂點D的坐標(biāo)（2，1）．

（2）存在；

設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，

則，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣3，

設(shè)P（x，﹣x²+4x﹣3），則F（x，x﹣3），

∴PF=（﹣x²+4x﹣3）﹣（x﹣3）=﹣x²+3x=﹣（m﹣）²+，

∴當(dāng)x=時，PF有最大值為．

∴存在一點P，使線段PE的長最大，最大值為．

（3）∵A（1，0）、B（3，0）、D（2，1）、C（0，﹣3），

∴可求得直線AD的解析式為：y=x﹣1；

直線BC的解析式為：y=x﹣3．

∴AD∥BC，且與x軸正半軸夾角均為45°．

∵AF∥y軸，∴F（1，﹣2），∴AF=2．

①當(dāng)0≤t≤時，如答圖1﹣1所示．

此時四邊形AFF′A′為平行四邊形．

設(shè)A′F′與x軸交于點K，則AK=AA′=t．

∴S=S_{▱AFF′A′}=AF•AK=2×t=t；

②當(dāng)＜t≤2時，如答圖1﹣2所示．

設(shè)O′C′與AD交于點P，A′F′與BD交于點Q，

則四邊形PC′F′A′為平行四邊形，△A′DQ為等腰直角三角形．

∴S=S_{▱PC′F′A′}﹣S_△A′DQ=2×1﹣（t﹣）²=﹣t²+t+1；

③當(dāng)2＜t≤3時，如答圖1﹣3所示．

設(shè)O′C′與BD交于點Q，則△BC′Q為等腰直角三角形．

∵BC=3，CC′=t，∴BC′=3﹣t．

∴S=S_△BC′Q=（3﹣t）²=t²﹣3t+9．

綜上所述，S與t的函數(shù)關(guān)系式為：

S=