Question

如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=2，以邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)D，且∠DAB=45°．
（1）試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若以C為圓心的⊙C與⊙O相切，求⊙C的半徑．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的判定與性質(zhì),勾股定理,平行四邊形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，即可得∠BOD=90°，又由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥DC，即可求得OD⊥CD，則可得CD與⊙O的位置關(guān)系是相切；
（2）作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E，連接OC，由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD∥BC，可得∠CBE=∠DAB=45°，然后在Rt△OCE中，由勾股定理即可求得OC的值，從而求得⊙C的半徑．

解答：解：（1）直線CD與⊙O相切． 
連接OD．
∵∠DAB=45°，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO=45°，
∴∠DOB=90°，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，
∴OD⊥CD，
∵OD為⊙O半徑，
∴直線CD與⊙O相切．
（2）作CE⊥OB，交OB的延長線于點(diǎn)E，連接OC．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE=∠DAB=45°，四邊形DOEC是矩形，
∵AB=2，
∴BE=CE=OD=1．
在Rt△OCE中，OC=

CE2+OE2

=

5

，
∵⊙C與⊙O 相切，
∴⊙C的半徑為

5

-1或

5

+1．

點(diǎn)評：此題考查了切線的判定與性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．