Question

已知△ABC中，AB=AC，CD交AB于點E，∠BDC=∠BAC=α，連接AD．
（1）如圖1，當α=60°，CD⊥AB時，求證：AD=BD=

1

2

CD；
（2）如圖2，當α=60°，CD與AB不垂直時，請猜想線段AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系是

 

；（直接寫出結(jié)果）
（3）如圖3，當α≠60°，CD與AB不垂直時，請猜想線段AD、BD、CD之間的數(shù)量關(guān)系并證明你的猜想（用含α的式子表示）

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),解直角三角形

專題：

分析：（1）首先證出AD=BD，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)：30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，即可得出結(jié)論；
（2）在CD上截取CF=BD，證出△ABD≌△ACF，得出AD=AF，再證出∠DAF=60°，從而得出△DAF是等邊三角形，證出AD=DF，得出結(jié)論CD=AD+BD；
（3）通過截取輔助線，證明三角形全等，根據(jù)三角函數(shù)得出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1，∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∵CD⊥AB
∴AE=BE，∠BEC=∠AEC=∠BED=90°，∠BCD=∠ACD=30°
∴AD=BD，
∵∠BDC=∠BAC=60°
∴∠DBC=180°-∠BCD-∠BDC=90°，
∴在Rt△BCD中，∠BCD=30°
∴AD=BD=

1

2

CD；
（2）CD=AD+BD；
證明：如圖2，在CD上截取CF=BD，連接AF，
∵AB=AC，∠BAC=60°
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠BEC=∠BDC+∠ABD，∠BEC=∠BAC+∠ACD，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠ACD，
在△ABD和△ACF中，

BD=CF   ∠ABD=∠ACD   AB=AC

∴△ABD≌△ACF（SAS），
∴AD=AF，∠DAB=∠FAC，
∵∠FAC+∠FAB=∠BAC=60°，
∴∠DAB+∠FAB=60°，即∠DAF=60°，
∴△DAF是等邊三角形，
∴AD=DF，
∴DF+CF=AD+BD，即CD=AD+BD；
（3）證明：猜想CD=BD+2 AD sin

α

2

，
如圖3，在CD上截取CF=BD，連接AF，
過點A作AG⊥CD交CD于點G，
∵∠BDC=∠BAC，∠AEC=∠BED，

∴∠ACF=∠ABD，
∵AB=AC，CF=BD，
∴△ADB≌△AFC，
∴AD=AF，∠FAC=∠DAB，
∴∠DAF=∠BAC=α，
∵AG⊥CD，
∴∠DAG=

1

2

∠DAF=

1

2

α，DG=FG=

1

2

DF，
在Rt△ADG中，sin∠DAG=

DG

AD

，
∴DG=ADsin

α

2

，
∴DF=2DG=2ADsin

α

2

，
∴CD=CF+DF=BD+2AD sin

α

2

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及解直角三角形的知識，關(guān)鍵是作輔助線證明三角形全等．