Question

5．已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且它到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小，則P點(diǎn)叫△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)（Fermat point）．已經(jīng)證明：在三個(gè)內(nèi)角均小于120°的△ABC中，當(dāng)∠APB=∠APC=∠BPC=120°時(shí)，P就是△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)．若點(diǎn)P是腰長(zhǎng)為$\sqrt{2}$的等腰直角三角形DEF的費(fèi)馬點(diǎn)，則PD+PE+PF=$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 根據(jù)題意首先畫出圖形，過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°就可以得到滿足條件的點(diǎn)P，根據(jù)特殊直角三角形才求出PE，PF，PM，DP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答 解：如圖：等腰Rt△DEF中，DE=DF=$\sqrt{2}$，
過點(diǎn)D作DM⊥EF于點(diǎn)M，過E、F分別作∠MEP=∠MFP=30°，
則EM=DM=1，
故cos30°=$\frac{EM}{EP}$，
解得：PE=PF=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，則PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故DP=1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
則PD+PE+PF=2×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1-$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$+1．
故答案為：$\sqrt{3}$+1．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角，正確畫出圖形進(jìn)而求出PE的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．