Question

12．?ABCD，點E為BC的中點，點F在CD的延長線上，且AE平分∠BAF．
（1）求證：AF=2AB+DF；
（2）點G為AF的中點，連接DG，GK⊥GD交BC于點K，若CF=BC，∠ABC=60°，AF=14，求KE的長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，先證明△ABE≌△NCE，再證明FA=FN即可解決問題．
（2）如圖2中，延長DG交BA的延長線于點M，連接MC并延長到L使得CL=CD，作FH⊥AD于H，連接KD、KM、KL，先證明△AMG≌△FDG，△KCL≌△KCD，再證明△KDM是等邊三角形，最后設(shè)AB=a，則DF=AF-2AB=14-2a，∴AD=CF=14-a，DH=7-a，由AF²=AH²+FH²，列出方程即可解決問題．

解答 （1）證明：如圖1中，延長AE、FC相交于點N．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥DN，
∴∠B=∠ECN，
在△ABE和△HCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠ECN}\\{BE=EC}\\{∠AEB=∠CEN}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△NCE，
∴CN=AB，∠N=∠BAE=∠FAN，
∴AF=FN=DF+CD+CN=2AB+DF．
（2）解：如圖2中，延長DG交BA的延長線于點M，連接MC并延長到L使得CL=CD，作FH⊥AD于H，連接KD、KM、KL，
在△AMG和△FDG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAG=∠GFD}\\{AG=GF}\\{∠MGA=∠FGD}\end{array}\right.$
∴△AMG≌△FDG，
∴AM=DF，∵CD=AB，
∴BM=CF=BC，∵∠B=60°，
∴△BCM是等邊三角形，
∴∠BCD=∠KCL=120°，
在△KCL和△KCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{KC=KC}\\{∠KCL=∠KCD}\\{CL=CD}\end{array}\right.$，
∴△KCL≌△KCD，
∴MG=DG，KL=KD，∠L=∠KDC，∠LKC=∠DKC，
∴KM=KD=KL，
∴∠KMC=∠L=∠KDC，
∴∠DKC+∠KMC=∠LKC+∠L=60°，
∵△BCM是等邊三角形，
∴∠BMK+∠KMC=∠BMC=60°，
∴∠BMK=∠DKC，
∴∠MKD=180°-（∠DKC+∠BKM）=180°-（∠BMK+∠BKM）=60°，
∴△KDM是等邊三角形，
∴∠BMK+∠KMC=60°=∠KMC+∠CMD，
∴∠BMK=∠CMD，
∴△BMK≌△CMD，
∴BK=CD=AB，設(shè)AB=a，則DF=AF-2AB=14-2a，∴AD=CF=14-a，DH=7-a，
由AF²=AH²+FH²，
∴14²=（21-2a）²+[$\sqrt{3}$（7-a）]²，整理得到a²-18a+56=0，
解得a=4或14（不合題意舍棄），
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$（14-a）=5，
∴KE=BE-BK=5-a=1．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，學會轉(zhuǎn)化的思想，用方程的思想去思考問題，題目比較難．