Question

3．四邊形ABCD中，AD=CD，∠ADB=∠ACB，DE∥AC，交BC延于E，求證：AD²=AF•DE．

Answer 1

分析 由AD=DC可得∠DAC=∠DCA，因?yàn)锳C∥DE可得∠DCA=∠CDE，所以可證得∠DAF=∠CDE，再由已知條件和平行線的性質(zhì)可證明∠ADF=∠E，進(jìn)而可得△ADF∽△DEC，由相似三角形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的比值相等即可證明AD²=AF•DE．

解答 證明：∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AC∥DE，
∴∠DCA=∠CDE，
∴∠DAF=∠CDE，
∵AC∥DE，
∴∠ACB=∠E，
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ADB=∠E，
∴△ADF∽△DEC．
∴AD：DE=CD：AF，
∴AD•CD=AF•DE，
∵AD=CD，
∴AD²=AF•DE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，特別是三角形相似的判定一直是中考考查的熱點(diǎn)之一，在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過(guò)作平行線構(gòu)造相似三角形；或依據(jù)基本圖形對(duì)圖形進(jìn)行分解、組合；或作輔助線構(gòu)造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可單獨(dú)使用，有時(shí)需要綜合運(yùn)用，無(wú)論是單獨(dú)使用還是綜合運(yùn)用，都要具備應(yīng)有的條件方可．解本題的關(guān)鍵是注意圖形中相等線段的代替（AD=CD）．