Question

（2011•紹興縣模擬）如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直線OB于E，D，交OA于點F，連接EF并延長EF交AB于G，且EG⊥AB．
（1）求證：直線AB是⊙O的切線；
（2）若EF=2FG，AB=12

3

，求圖中陰影部分的面積；
（3）若EG=9，BG=12，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OE，由OA=OB，CA=CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到OC⊥AB，根據(jù)切線的判定定理即可得到結論；
（2）過O點作OH⊥EG于H，則EH=FH，由EF=2FG，得到EH=

1

3

EG，又OH∥BG，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到EH：EG=EO：EB，BO=2OE，則OB=2OC，得到∠B=30°，而BC=

1

2

AB=6

3

，利用含30°的直角三角形三邊的關系得到OC=

3

3

BC=6，然后根據(jù)三角形和扇形的面積公式利用S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形OFD計算即可；
（3）利用勾股定理得到BE=

122+92

=15，易證Rt△BOC∽Rt△BEG，則OC：EG=BC：BG=BO：BE，即r：9=BC：12=BO：15，得到BC=

4

3

r，BO=

5

3

r，則15-r=

5

3

r，求出r，利用BD=BE-ED計算即可．

解答：（1）證明：連接OC，如圖，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴直線AB是⊙O的切線；

（2）解：過O點作OH⊥EG于H，如圖，
∵OE=OF，
∴EH=FH，
∵EF=2FG，
∴EH=

1

3

EG，
而EG⊥AB，
∴OH∥BG，
∴EH：EG=EO：EB，
∴BO=2OE，
∴OB=2OC，
∴∠B=30°，∠COB=60°
而BC=

1

2

AB=6

3

，
∴OC=

3

3

BC=6，
∴S_陰影部分=S_△OAB-S_扇形OFD
=

1

2

•12

3

•6-

120•π•62

360

=36

3

-12π；

（3）解：在Rt△BEG中，EG=9，BG=12，
∴BE=

122+92

=15，
設⊙O的半徑為r，則OB=15-r，
∵OC∥EG，
∴Rt△BOC∽Rt△BEG，
∴OC：EG=BC：BG=BO：BE，即r：9=BC：12=BO：15，
∴BC=

4

3

r，BO=

5

3

r，
∴15-r=

5

3

r，解得r=

45

8

，
∴BD=BE-ED=15-2×

45

8

=

15

4

．

點評：本題考查了切線的判定定理：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線．也考查了扇形的面積公式以及三角形相似的判定與性質(zhì)．